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1、讲 授 内 容备 注第三十四讲讲6.4 隐函数数存在定定理对方程而言言，隐函函数存在在定理是是：满足足 ； 及在的某某邻域内内连续，则方程在的的邻域里里确定了了唯一的的隐函数数.具体来说，即即，及函函数，满满足：i) ；ii) 其中 ；iii) 满足条条件i)、iii)的函函数是唯唯一的；iv) 在在内连续续若附加条件件：在的邻域域内连续续，则存在，且例1 给定方方程 11) 说说明在点点的充分分小的邻邻域内，此此方程确确定唯一一的、连连续的函函数，使使得； 22) 讨讨论函数数在附近的的可微性性；3) 讨论论函数在在附近的的升降性性（单调调性）；4) 在点点的充分分小的邻邻域内，此此方程是是
2、否确定定唯一的的单值函函数，使使得？为为什么？ 解 1) ，； 显然及在在的邻域域内连续续，由隐函数存存在定理理，在点点的某邻邻域内存存在唯一一隐函数数，连续续，2) 也在在的邻域域内连续续，所以函数的的导数存存在，且且3) 为讨讨论在附近的的升降性性，考虑虑的符号号，由得出，当当充分接接近时，的符符号取决决于分子子的符号号，由知，（当时）于是的符号与的的符号相相同时，时，可见，在处处取（严严格）极极大4) （用用隐函数数存在定定理不能能判定在在的邻域域内是否否存在唯唯一的单单值函数数，使得得，）由3)知，在处取（严格）极大，故在的充分小的邻域内，当当时，至至少有二二个与对应而当时时，无与与对
3、应，使使得所以不能确确定，使使得6.5 方向导导数与梯梯度一、方向导导数的计计算1) 利用用定义 函数在点处处沿单位位向量方方向的方方向导数数定义为为 2) 利用用偏导数数与方向向导数的的关系若在点处可可微，则则在点沿任意意方向的的方向导导数存在在，且 33) 利利用梯度度与方向向导数的的关系若在点处可可微，则则在点沿任任意方向向的方向向导数存存在，且且其中表示与与的夹角角例1 设试证：在点点沿任意意方向的的方向导导数存在在，但在在处不可可微证取任意意方向则于是可见在处沿沿任意方方向的方方向导数数存在不可微性是是课本上上的例题题例2 证证明：在处沿任意意方向的的方向导导数为 证 若，总之，有例
4、3 求在在椭球面面上的点处的外外法线方方向的导导数解法向量量 单位法向量量 其中 因此，例4 设是是区间上上的可微微函数，在在直角坐坐标平面面内，其其图像为为曲线若二元元函数在在包含曲曲线的某某区域上上连续可可微（即即具有连连续的偏偏导数）且在曲曲线上恒恒为0求证：在曲线线上任一一给定点点处沿该该曲线切切线方向向的导数数等于00证设是曲曲线上任任意点处处的单位位切向量，则则 可见只要找找出 ，便便得所证证结果由已知条件件两边关于求求导从而所以例5设为为中的两两个线性性无关的的单位向向量函函数在中可微方向导导数试证：常数数证记，因因为线性无关，上述方程组组只有零零解：记，由微分分中值定定理故常数
5、二、梯度的的计算梯度的计算算（以为为例），主主要使用用如下公公式：其中为算符符，分别别表示轴轴上的单单位向量量注：梯度是是向量，因因此其运运算，要要遵从向向量的运运算法则则例6 设，求证： 其中分别是是径向与与圆周方方向的单单位向量量（如如图）证 在方向的投投影： （方向的的分量）在方向的投投影：（方向的分分量）按向量的分分解原理理： 所以 从而 例7 设有有方程 (11)证明： (2)其中 证 这是一一个兼有有梯度计计算与隐隐函数求求导的题题目(2)式变变形为 (3)问题转化为为由方程程(1)证明式式(3) 方程(1)满足隐隐函数存存在定理理的条件件，因此此(1)式将定定义为的的函数将(11)式对对求导 即 (44)由轮换对称称 (5) (6)(4)，(5)，(6)平平方后相相加，约约去两端端的公因因子，得得 (7)(4)+(5)+(6)，再由(1)得 (8)联立(7)、(88)，解解得 3学时注：定理的的条件只只是充分分条件，而不是要条件偏导数是两两个特殊殊方向的的方向导导数梯度方向是是函数变变化最剧剧烈的方方向，或或个方向向导数的的最大值值就是梯梯度的模模书P1000 EX5外法线方向向对一元函数数若则注：本结论论可推广广到中图9
