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1、专题四数列的综合应用1等比数列与等差数列比较表不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与前一项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一(1)都强调从第二项起每一项与前一项的关系；等比数列(1)强调从第二项起每一项与前一项的比；(2)a1与q均不为零；(3)等比中项有两个值(2)结果都必须是同一个常数；(3)数列都可由a1，d或a1，q确定2. 数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、分期付款、合理定价等3 解答数列应用题的基本步骤(1)审题仔细阅读材料，
2、认真理解题意(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征(3)求解求出该问题的数学解(4)还原将所求结果还原到原实际问题中4 数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an1的递推关系，还是Sn与Sn1之间的递推关系1 在等比数列an中，an0，a2a42a3a5a4a625，则a3
3、a5的值为_答案5解析设首项为a1，公比为q，则a10，q0，a2a42a3a5a4a6aq42aq6aq8aq4(1q2)225.a1q2(1q2)5，a3a5a1q2a1q4a1q2(1q2)5.2 已知等差数列的公差d0，S210，S2121a110，a115)是公比为q (q0)的等比数列，则m的值为_答案11解析由题意，得a362d，因为q，所以3d；因为q大于零，所以3d是大于零的整数，q.由题意知，数列an各项均为整数，故d，q均应为整数当3d3,3dZ时，q不为整数，故3d只能取1,3.当3d3时，d0，不满足条件；故3d1，此时d2，q3，满足条件所以q3，d2，因此63am
4、6(m5)2，所以m11.4 设数列an是公差大于0的等差数列，a3，a5分别是方程x214x450的两个实根则数列an的通项公式是an_；若bn，则数列bn的前n项和Tn_.答案2n12解析因为方程x214x450的两个根分别为5、9，所以由题意可知a35，a59，所以d2，所以ana3(n3)d2n1.bnn，Tn123(n1)nTn12(n1)n得，Tnn1，所以Tn2.5 等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(0)等于()A26 B29 C212 D215答案C解析f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x(x
5、a1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x，所以f(0)(0a1)(0a2)(0a8)0a1a2a8.因为数列an为等比数列，所以a2a7a3a6a4a5a1a88，所以f(0)84212.题型一等差数列与等比数列的综合应用例1在等差数列an中，a1030，a2050.(1)求数列an的通项an；(2)令bn2an10，证明：数列bn为等比数列审题视角第(1)问列首项a1与公差d的方程组求an；第(2)问利用定义证明(1)解由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程组解得an12(n1)22n10.(2)证明由(1)，得bn2an1022n101022n4n，4，bn
6、是首项是4，公比q4的等比数列探究提高对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系往往用到转化与化归的思想方法 数列an的前n项和记为Sn，a11，an12Sn1 (n1)(1)求an的通项公式；(2)等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T315，又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列，求Tn.解(1)由an12Sn1，可得an2Sn11 (n2)，两式相减得an1an2an，则an13an (n2)又a22S113，a23a1.故an是首项为1，公比为3的等比数列，an3n1.(2)设bn的公差为d，由T315，b1b2
7、b315，可得b25，故可设b15d，b35d，又a11，a23，a39，由题意可得(5d1)(5d9)(53)2，解得d12，d210.等差数列bn的各项为正，d0，d2，b13，Tn3n2n22n.题型二数列与函数的综合应用例2已知函数f(x)log2xlogx2(0x1)，数列an满足f(2an)2n (nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)判断数列an的单调性思维启迪：(1)将an看成一个未知数，解方程即可求出an；(2)通过比较an和an1的大小来判断数列an的单调性解(1)由已知得log22an2n，an2n，即a2nan10.ann.0x1，02an1，an10，an1an，
8、an是递增数列方法二1，又anan，an是递增数列探究提高本题融数列、方程、函数单调性等知识为一体，结构巧妙、形式新颖，着重考查逻辑分析能力 等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由题意，Snbnr，当n2时，Sn1bn1r.所以anSnSn1bn1(b1)由于b0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)由(1)知，nN*，an(b1)bn12n1，所以bn.Tn，Tn，两
9、式相减得Tn，故Tn，nN*.题型三数列与不等式的综合应用例3(2012广东)设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差数列(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有12n2(n2n)12n22n22n(n1)，111，即. 已知数列an满足a1，an1an2an1an，Sn表示数列an前n项和求证：Sn1.证明由a10易知，对于任意的n，an0，原式化为1，12.令bn1，b12，bn12bn，数列bn是首项为2，公比为2的等比数列，即bn12n，所以an，故Sna1a2an10.85bn，有250(n1)50400(1.08)n10.85.当n5时，a50.85b6，满足上述不等式的最小正整数n为6.到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.探究提高解决此类问题的关键是
