最小二乘法数据拟合

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1、最小二乘法数据拟合设给定数据(Xi,fi), (i =1,2,m)在集合:二Spanp0,订n中找一个函数n(i)S*(x)八 a; k(x) , (n : m)k 3:0其误主曰 差疋、;i = S (xj - f, (i =1,2,,m) (2)使S* (x)满足mm 汀(Xi)S*(x)- fi2i Aim2=Sm)G(x)S(fi(xQ是a,b上给定的权函数。上述求逼近函数S*(x)的方法就称为曲线拟合的最小二乘法。满足关系式(3)的函数S* (x)称为上述最小二乘问题的最小二乘解。并且有结论:1)对于给定的函数表(冷fj,(i =1,2/ ,m),在函数类门=Span( 0, / /

2、 n中存n在唯一的函数S*(x)八ak ;:k(x),使得关系式 成立。k -02)最小二乘解的系数 a0,a*,,a;可以通过解法方程n、( ;k, ;:j)ak =(f, ),(j =0,1,2/ ,n)k =0作为曲线拟合的一种常用的情况,如果讨论的是代数多项式拟合,即取 , 1, n二1,X,X2, ,xn那么相应的法方程(4)就是oZXioaXiZ-2Xi-onXiZnXi-Fn2 1co-aaHan一产EnIXm其中,.=(xi),并且将7 简写成“7n此时,S (x) =7 akxk,称它为数据拟合多项式,上述拟合称为多项式拟合。7例:已知某高度传感器测得的数据如下表:表1序号i

3、1234567时间xi(秒)1234678高度yi(米)2367532试用最小二乘法求多项式曲线与此数据组拟合。(一)算法:解:取二次方多项式去拟合(当然也可以取三次、四次等,次数越高计算越复杂)2y = f (x) = ao aix a2x由式(5)可建立法方程组(其中取(Xi)二1)忆1Z xz2Xii壬i mi壬777送Xi送x2z3Xii=1i =1i =1777产Xi22迟Xi3z4Xi=1i =1由表1的数据可以计算出777为Xi,送x2,z3Xim=1i =1777工yiim7a1貝一为Xi%i=17为 xi2yiI77i1234567求和s时间xi(秒)123467831高度y

4、i(米)236753228i =1i =17,x2yii =17x4,、乞i d计算结果列在表2中2x149163649641793x18276421634351211714x116812561296240140968147w2618283021161212Xi y21254112180147128635将表2中算得的结果代入法方程(6),可得:4a0 10印 30a2 二-1980d0a30a1 +100a2 =/926Q0a +100ai +354a2 =-14762解方程组可得:30 = -547 ai = 344.8a? = 8故所求拟合曲线为:y = f(x) =1.3185 2(二)用MATLAB编程求解:多项式函数 使用polyfit (x,y,n),n为次数拟合曲线x=1,2,3,4,6,7,8;y=2,3,6,7,5,3,2;解:MATLAB 程序如下:x=1,2,3,4,6,7,8;y=2,3,6,7,5,3,2;p=polyfit(x,y,2)x1=0:0.01:10;y1=polyval(p,x1);plot(x,y,*r,x1,y1,-b)计算结果为:p =-0.38643.4318-1.3182

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