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1、椭圆与双曲线的对偶性质-(必背的经典结论)椭圆1点P处的切线 PT平分 PF1F2在点P处的外角.2. PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线 相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.X25. 若P0( x0 , y0)在椭圆 a2X6. 若P0(x0, y0)在椭圆a弦P1P2的直线方程是X02Xa22y_b22y孑ycyb21上，则过P0的椭圆的切线方程是 竽a1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为1.VdY 1 孑1.Pl、P2,则切点2X7 椭圆a再 1
2、 (a b 0)的左右焦点分别为bF1 , F 2,点P为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为 S f1pf22b tan22X&椭圆一2aAP和2 爲 1 (a b 0)的焦半径公式：b2IMF, a ex0,| MF21 a egF, c,0) , F2(c,0) Mgy。).9.设过椭圆焦点 F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结10.过椭圆一个焦点 F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点 M , A2P和A1Q交于点N，贝U MF丄NF.2X11 . AB是椭圆ab2前koM kAB 2 ,即a1的不平行于
3、对称轴的弦,M (Xo, yo)为 AB 的中点，则K AB若F0(x), y)在椭圆b2X0oy。2書 1内，则被Pob2a2X2a所平分的中点弦的方程是XoX2ay yxyb2b213 .Po(x,y)在椭2X2a2話1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2Lb2X0Xyya2b2AQ分别交相应于焦点 F的椭圆准线于 M、N两点，贝U MF丄NF.双曲线1点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的内角.2. PT平分 PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线 相交.4. 以焦点半径 PF1为直径的
4、圆必与以实轴为直径的圆相切(内切：P在右支；外切：P在左支)5若2xP0(X0, y0)在双曲线a2 y b21 ( a 0,b 0)上，则过P0的双曲线的切线方程是VcY 1 頁1.6.若2 x P(x0,y0)在双曲线a2y(a0,b 0)夕卜，则过Po作双曲线的两条切线切点为Pl、P2,则切点弦P1P2的直线方程是x0x yy 1 -2, 21 ab7双曲线2 x 2 a2yb21 (a 0,b o)的左右焦点分别为F1, F 2，点P为双曲线上任意一点F1PF2则双曲线的焦点角形的面积为 S F1 pf2b2C0t.&双曲线27 1 (a 0,bo)的焦半径公式：(F ( c,0) ,
5、 F2(c,0) b2x2a当 M(X0,y)在右支上时，MF, ex0 a ,| MF21a .当 M(X0，y)在左支上时，IMF1I ex。a,|MF21a9.设过双曲线焦点 F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的双曲线准线于 M、N两点，贝U MF丄NF.10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M ,2x11. AB是双曲线aA2P和A1Q交于点 N，贝U MF丄NF.芯 1 (a0,b0)的不平行于对称轴的弦，M(X0,y)为AB的中b点，贝V Kom Ka
6、bb2x2a y。，即K ABb x 2。a y。12若F0(Xo,y)在双曲线2b2(a 0,b0)内，则被Po所平分的中点弦的方程是13.b2a2 b2若Po(xo, yo)在双曲线2 x 2 a2b2(a 0,b0)内，则过 Po的弦中点的轨迹方程是yxxyyb2a2b2椭圆与双曲线的对偶性质(会推导的经典结论)椭圆2X1椭圆飞a2与 1 (ab0)的两个顶点为 A( a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭b圆于Pl、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2X2.过椭圆pa1 (a0, b0)上任一点A(x),y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向
7、且kBc 聖(常数).a y。2X3若P为椭圆a1(ab0)上异于长轴端点的任一点,Fi, F 2是焦点,PF1F2PF2F1，则tan cot . 24 设椭圆2X2a2y21 (a b 0)b2的两个焦点为 F1、F2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意 PF1F2 中，记F1PF2PF1F2F1F2P,则有sinsin sin2x5.若椭圆a ( a b0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0 b 0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2aI AF2 | |PA |IPF1I2a IAF1I,当且仅当A, F2,P三点共线时，等号成立(x x。)2椭圆 2a22
8、, 21 B b2x&已知椭圆a(1)I OP |2a2b2值是J.a bA2a(AX02_y_b21|OQ |2(yy0)2泸 1与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是 b22By。 C).1 ( ab0), O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点， 且OP OQ .22； (2) |OPf+|OQ|2的最大值为匕； ( 3) Sopq的最小a ba bx9.过椭圆ay2 1 ( a b 0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的b垂直平分线交x轴于p,则if匚！-| MN |210.已知椭圆22xy2,2aba b 0),A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交
9、于点P(x0,0)a2 b2X。a2 b22x11.设P点是椭圆a(ab0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记F1PF2，则(1)|PFi|PF2|2b21 cos S pf1F2b2 tan212.设 A、B2x是椭圆aab0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点，PABPBABPA,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,22ab |cos |则有(1)|PA| 222.(2)a c cos2. 2tan tan/ 21 e .(3)13.已知椭圆直线与椭圆相交于c 2a bS PAB22 COt .b a1 ( a b 0)的右准线I与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F的两点，点C在右准线I上，
10、且BC x轴，则直线AC经过线段EF的中占I 八、14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径 互相垂直.16. 椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18.椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项双曲线2 21.双曲线 笃 爲 1 (a0,b0)的两个顶点为a bA(a,0
11、),民佝0)，与y轴平行的直线交双曲线于Pl、P2时AlPl与A2P2交点的轨迹方程是222.过双曲线右b1 (a0,bo)上任一点 A(x0, y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC孚(常数).a y。3.若P为双曲线22xy2,2ab1 (a 0,b 0)右(或左)支上除顶点外的任一点，F1, F 2是焦点，PF1F2PF2F1，则异 tan-cot -(或兀 tan2COt2 ).2x4.设双曲线一a2y_21 (a 0,b 0)的两个焦点为Fi、F2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在 PF1F2 中，记F1PF2PF1F2F1F2Psi
12、n(sin sin )ce.a2x5.若双曲线a占 1 (a 0,b 0)b2的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为L,则当1Vew 21时，可在双曲线上求一点 P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6. P为双曲线2 2x y飞 2 1 (a 0,b0)上任一点，F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点,a2 b2则 |AF2|2a|PA| IPF1I，当且仅当 代F2,P三点共线且P和A, F2在y轴同侧时，等号成立7 双曲线2x2a2 2 2, 2A a B b&已知双曲线2 y_ b2C2.2x2a(a 0,b 0)与直线 Ax ByC 0有公共点的充要条件是OP OQ. |OP |2y2b2(b a 0), O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点，且|OQ|12a2 24a b1 4a b;(2) |OP2+|OQ|2的最小值为 ;(3) S opq的最小bb a
