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1、工程数学下A卷一、单项选择（每题3分，15分）1、某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i发”，i=0,1,2,3、 那么事件A=A1A2A3表示()。 A、 全部击中、B、 至少有一发击中、 C、 必然击中D、 击中3发2、对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有()。A、 X和Y独立。 B、 X和Y不独立。C、 D(X+Y)=D(X)+D(Y) D、 D(XY)=D(X)D(Y)3、下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。A、 。 B、 C、 D、 ，4、设随机变量X, Y, , 则有（ ）A、 对于任意的, P1=P2 B、 对于任意的, P1 P2
2、5、设X为随机变量，其方差存在，c为任意非零常数，则下列等式中正确的是（） A、D(X+c)=D(X)、 B、 D(X+c)=D(X)+c、 C、 D(X-c)=D(X)-c D、 D(cX)=cD(X)二、填空题（每空3分，共15分）6、 设3阶矩阵A的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A2E|= 。7、设A= ，则= 。8、设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P，则该系统正常工作的概率为 。9、设随机变量的概率密度函数为，则概率 。10、设二维连续型随机变量的联合概率密度函数为，则系数 。三、计算题（每小题10分，共50分）1、求函数的傅氏变换 (这里)，
3、并由此证明：2、发报台分别以概率0、6和0、4发出信号“1”和“0”。由于通讯系统受到干扰，当发出信号“1”时，收报台未必收到信号“1”，而是分别以概率0、8和0、2收到信号“1”和“0”；同时，当发出信号“0”时，收报台分别以概率0、9和0、1收到信号“0”和“1”。求（1）收报台收到信号“1”的概率；（2）当收报台收到信号“1”时，发报台确是发出信号“1”的概率。3、设二维随机变量的联合概率函数是求：（1）常数c；（2）概率P(XY )；（3）X与Y相互独立吗？请说出理由。4、将n个球随机的放入N个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数X的数学期望。5、设一口袋中依此标有1
4、，2，2，2，3，3数字的六个球。从中任取一球，记随机变量X为取得的球上标有的数字，求(1)X的概率分布律和分布函数。(2)EX四、证明题（共10分）1、设a=(a1,a2,an)T，a10,其长度为a，又A=aaT,(1) 证明A2=a2A；(2) 证明a是A的一个特征向量，而0是A的n-1重特征值；(3) A能相似于对角阵吗？若能,写出对角阵、五、应用题（共10分）1、设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X是随机变量,它在2000,4000( 单位：吨 )上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而囤积在仓库，则每吨需保养费1万元。问需要组织多少
5、货源，才能使国家收益最大。工程数学参考答案及评分标准一、 选择题（每小题3分，共15分）1、B2、C3、D4、A5、A 二、 填空题（每小题3分，共15分）6、 9 7、 1 8、 1(1P)3 9、 3/4 10、 12三、计算题（每题10分，共50分）1、解答：函数f(t)的付氏变换为：F(w)= （3分） = (2分)由付氏积分公式有f(t)=F(w)= (2分) = = （2分）所以 （1分）2、解答: 设 A1=“发出信号1”，A0=“发出信号0”，A=“收到信号1” （2分）(1)由全概率公式 （1分）有 P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0) （2分） =0
6、、8x0、6+0、1 x0、4=0、52 （1分）(2)由贝叶斯公式 （1分）有 P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/ P(A) （2分） =0、8x0、6/0、52=12/13 （1分）3、解答:一、 由联合概率密度的性质有即 （2分）从而 c=8 （2分）(2) （2分）(3) 当x0时， （2分）当x=0时, 同理有 （1分）因 故X与Y相互独立 （1分）4、解答：设 i =1,2,N (2分)则 (1分)因 (2分) (2分)因而 (2分)所以 (2分)5、解答：（1）随机变量的取值为1，2，3。 （1分）依题意有： （3分）的分布函数 （1分）由条件知：当时， （1分） 当时，
7、 （1分）当时， （1分）当时， （1分）（2）EX=1 x 1/6+2 x 3/6+3 x 2/6= 13/6 （1分）四、证明题（共10分）(1) A2=aaTaaT=aTa aaT =a2A （2分）(2)因 Aa= aaT a=aTaa= a2a （2分）故a是A的一个特征向量。又A对称，故A必相似于对角阵 （1分）设A diag(1,2,n)=B, 其中1,2,n是A的特征值 (1分)因rank(A)=1, 所以 rank(B)=1 (1分)从而1,2,n中必有n-1个为0, 即0是A的n-1重特征值 （1分）(3) A对称，故A必相似于对角阵，=diag(a2, 0,0) (2分)五、应用题（共10分）解答:设y为预备出口的该商品的数量，这个数量可只介于2000与4000之间，用Z表示国家的收益（万元）, （1分）则有 （4分）因 X服从R(2000,4000), 故有 (1分)所以 =( y2 7000y + 4106 ) /1000 (3分)求极值得 y=3500 (吨) (1分)
