《沪教版初二上数学详细讲义(共121页)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《沪教版初二上数学详细讲义(共121页)（121页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精选优质文档-倾情为你奉上第十六章 二次根式第一节 二次根式【知识要点】1.二次根式 代数式叫做二次根式。读作“根号”，其中叫被开方数.2.二次根式有意义 有意义的条件是3二次根式的性质 性质一 性质二 性质三 性质四 4.最简二次根式 在化简后的二次根式里： (1)被开方数中各因式的指数都为1； (2)被开方数中不含分母. 被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.5.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二 次根式.【学习目标】1.掌握二次根式有意义的条件及性质.2.掌握最简二次根式及同类二次根式.【典型例题】 1.二次根
2、式的判定【例1】 下列式子中哪些是二次根式？（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）【答案】（1）、（3）、（5）、（7）、（8）是二次根式.【分析】 二次根式要求根指数为2，所以（4）就不是二次根式，同时二次根式的被开方数 必须是非负数，所以（2）、（6）显然不是，（9）中只有当即时，才是二次根式，（10）中只有当时，才是二次根式. 2.二次根式有意义的条件【例2】当实数取何值时，下列各式有意义？（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）。【答案】 （1）； （2）取任何实数； （3）； （4）； （5） 且； （6）。【
3、分析】（1）由，得，所以当时，有意义；（2）无论取什么实数，都有，所以当取任何实数时，都有意义；（3）由，且，得，所以当时，有意义；（4）由，即，得，所以当时，有意义；（5）由且，得且，所以当且时，有意义；（6）由且，即，得，所以当时，有意义; 3.二次根式的化简 【例3】化简下列二次根式；（1）； （2） ；（3）； （4）。【答案】（1）；（2）； （3）； （4）【解答】（1）原式； （2）原式； （3）由且，得，所以 原式= ； （4）由且，得，所以 原式。【例4】下列根式中哪些是最简二次根式？（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）【答案】（1）、（5）、（
4、7）是最简二次根式.【解析】因为与它们的被开方数中各因式的指数不都是，所以 （2）、（6）不是最简二次根式. 因为与，它们的被开方数含有分母，所以（3）、（4）不是最简二次根式.4.同类二次根式的判定【例5】下列各式中，哪些是同类二次根式？（1）； （2）； （3）； （4）； （5）；（6）； （7）； （8）。【答案】 （1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）；（7）因为，所以，于是 ；（8）因为，所以，于是 。因此（1）、（5）、（7）是同类二次根式；（3）、（6）是同类二次根式；（4）、（8）是同类二次根式.【基础训练】1成立的条件是_.2当x_时，式子有意义.3当a_时
5、，；当a_时，.4.代数式 中，字母x的取值范围是 _.5.若 ，则_.6若m0，化简=_.7.若 ，则 _.8下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D.9.式子成立的x取值范围为ABCDx取任意实数10.下列各组式子中，同类二次根式的是（ ）. A. B. C. D. 11的值（ ）.A.是正数 B.是负数 C.是非负数 D.可为正也可为负12.xy，那么化简为（ ）.A.0 B.2y C.2x D.2y2x13.化简下列各式：（此题中的字母均为正数）（1） （2） （3）（4） （5） （6）【能力提高】1. 化简并计算:己知x,y为实数,且,求：的值.2.己知与是同类根
6、式，求的值.3. 已知，求的值.4. 在实数范围内分解因式（1）4x4 1 （2）x3-x2-2x+2 第二节 二次根式的运算【知识要点】1.二次根式的加减法 先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并.2二次根式的乘除法 二次根式的乘法：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变. 二次根式的除法：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.3分母有理化 把分母中的根号化去，叫做分母有理化.4. 有理化因式 两个含有二次根式代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个含有二次根 式的代数式互为有理化因式.5二次根式的混合运算 在二次根式运算中，实数运算律、运算性质以及运
7、算性质规定都实用.【学习目标】1. 会进行二次根式的四则混合运算.2. 会应用整式的运算法则进行二次根式的运算.【典型例题】 1.二次根式的四则混合运算【例1】计算： （1）； （2）； （3）；【答案】（1）； （2） （3）； 【解析】（1）原式； （2）原式 = （3）原式 ；【例2】计算：（1） ； （2）（其中）；【答案】（1）； （2）【解析】（1）原式 ； （2）因为，所以由根式可知，再由根式可知. 原式= 2.分母有理化【例3】把下列各式分母有理化：（1）； （2）。【答案】（1）； （2）。【解析】（1）原式= （2）原式。【例4】 计算： （1）； （2）； （3）； （4
8、）。【答案】（1）； （2）； （3）； （4）。【解析】（1）原式 = ； （2）原式 = ； （3）原式 ； （4）原式 【例5】计算：（1）（2）；（3）；【答案】（1）； （2）； （3）； 【解析】（1）原式 =； （2）原式 ； （3）解法一： 原式 解法二： 原式 3.二次根式比较大小的常见方法（1）平方法：平方法比较两数、的大小时，当时，如果，那么；如果，那么。当时，如果，那么；如果，那么；（2）作差法： 作差法比较两数、的大小时，如果，那么；如果，那么 （3）作商法：作商法比较两数、的大小时，当时，如果，则；如果，则；当时，如果，则；如果，则；（4）倒数法（分子有理化法）倒数
9、法比较两数、的大小时，当时，如果，则；如果，则；当时，如果，则；如果，则；【例6】 比较下来各式的大小：（1）与； （2）与；（3）与； （4）与。【答案】（1）； （2）； （3）； （4）。【解析】第（1）题可以用“平方法“比较，第（2）题可用“作差法”比较，第（3）题 可用“作商法”比较，第（4）题可用“分子有理化法”比较. 4.一类特殊的二次根式求和问题 用拆项相消的技巧往往使某些求和问题运算比较简便.【基础训练】1.计算：_.2.计算：=_.3.计算： ， .4.计算： ， .5.计算： ， .6.计算： ， .7.分母有理化： ； .8.计算： .9.的倒数为_10.若，y是x的有
10、理化因式则y= ，则 ， .11.下列各式运算结果正确的是（ ）ABCD12.下列各式化简结果正确的是（ ） ABCD13.根式化简结果正确的是（ ）ABCD14.的计算结果正确的是（ ）ABCD15.的倒数是（ ）ABCD16. 设的小数部分为b ,那么 （4+b）b 的值是（ ） .是一个有理数；.无法确定。17. 18.19.20.【能力提高】1. 化简与计算：己知，求的值.2.已知，,求和的值.3.已知，求下列各式的值. ；二次根式单元测试题（时间100分钟，满分150分）一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1.在根式、中，最简二次根式有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
