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1、第2讲函数的单调性与最值1考察求函数单调性和最值的基本措施2运用函数的单调性求单调区间3.运用函数的单调性求最值和参数的取值范畴【复习指引】本讲复习一方面回扣课本,从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念,复习中重点掌握:()函数单调性的判断及其应用;(2)求函数最值的多种基本措施;对常用题型的解法要纯熟掌握.基本梳理.函数的单调性()单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数(x)的定义域为I如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当xx2时,均有f()f(x),那么就说函数f(x)在区间上是增函数当x1x时,均有f(1)f(2),那么就说函数f (x)在
2、区间D上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f()在区间上是增函数或减函数,则称函数(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做(x)的单调区间.2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件.对于任意xI,均有(x);对于任意xI,均有f(x)M;存在xI,使得f(x)存在0I,使得f(x0)=M.结论M为最大值M为最小值一种防备函数的单调性是对某个区间而言的,因此要受到区间的限制例如函数y分别在(,),(0,+)内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即(-,0)(,+)内单调递减,只能分开写,即函数的单调减区间为(
3、,0)和(,),不能用“”连接.两种形式设任意1,b且10f(x)在a,上是增函数;0(x)在a,上是减函数.(x1-x)f(x1)f(x2)0f(x)在,b上是增函数;(1-x2)f(x1)f(x2)-1.即x24x+2,解得2x.答案3(保定一中质检)已知f(x)为R上的减函数,则满足f1,不等式等价于解得1x0,即x,而ylgu为(0,+)上的增函数,当x-时,=x+也为增函数,故原函数的单调增区间是.答案若x0,则x的最小值为_.解析 x,则x 2 当且仅当x,即x 时,等号成立,因此x的最小值为2 .答案 2 考向一函数的单调性的判断【例】试讨论函数()=的单调性.审题视点 可采用定
4、义法或导数法判断.解 法一f(x)的定义域为R,在定义域内任取1x2,均有(x)-f(x2)-,其中x1-x2,x+10,x+10.当x,2(1,1)时,即|x|1,21,|1x|,f(x1)-(x2),f(1)(x2),f()为增函数.当1,x2(-,1或1,+)时,1xx2,(1)f(x2),(x)为减函数综上所述,(x)在1,1上是增函数,在(-,-和,+)上是减函数法二 f()=,由f(x)解得-1.由(x)0解得x1或x,f()在-1,上是增函数,在(,和1,+)上是减函数. 判断(或证明)函数单调性的重要措施有:()函数单调性的定义;(2)观测函数的图象;(3)运用函数和、差、积、
5、商和复合函数单调性的判断法则;(4)运用函数的导数等【训练】 讨论函数f(x)=(a0)在(-1,)上的单调性解设-x10,即(x1)(x),函数(x)在(-,1)上递减;当0时,f(1)-f(x2)0,即f(x1)0)在(2,)上递增,求实数a的取值范畴审题视点 求参数的范畴转化为不等式恒成时要注意转化的等价性.解法一设22,由已知条件f(x1)f(x2)=(1-x2)a(x1-x2)0恒成立即当21a恒成立.又x1x24,则04法二f(x),f()=得f(x)的递增区间是(,),(,),根据已知条件,解得4. 已知函数的解析式,可以判断函数的单调性,拟定函数的单调区间,反之已知函数的单调区
6、间可拟定函数解析式中参数的值或范畴,可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解【训练2】 函数在(1,)上单调递增,则的取值范畴是( ).A.a=-3 B.a0时,f(x)0,f(1).(1)求证:f(x)在R上是减函数;(2)求f(x)在-3,3上的最大值和最小值.审题视点 抽象函数单调性的判断,仍须紧扣定义,结合题目作合适变形()证明 法一函数f(x)对于任意x,yR总有f(x)+()(x+y),令xy=0,得f(0)=0.再令x,得f(-x)f(x)在R上任取x1x2,则x1x20,f(x1)f(2)=f(1)+f(x2)f(x-2).又x时,f()0,f(x1-x),即f(x1)x2
7、,则f(1)(x2)=f(x1x2x2)-f(x)f(xx2)+f(x2)-f(x)=f(1x2).又x时,f(x)0,而1x20,(x1-2)1时,f(x)0.(1)求f(1)的值;(2)判断f()的单调性;(3)若f(3)-1,求f(x)在2,9上的最小值.解()令xx20,代入得f(1)f(x1)-f(x1)=,故f(1)(2)任取x1,x2(0,),且x12,则1,由于当x1时,f(x)0,因此f0,即f(x1)f(x2)0,因此f(x1)f(x2),因此函数f(x)在区间(0,+)上是单调递减函数()f()在0,)上是单调递减函数(x)在2,9上的最小值为f(9).由f=f(x1)f
8、(2)得,f()-(3),而(3)=-1,因此f(9)=-2.f(x)在2,9上的最小值为2. 规范解答2如何解不等式恒成立问题【问题研究】 在恒成立的条件下,如何拟定参数的范畴是历年来高考考察的重点内容,近年来在新课标地区的高考命题中,由于三角函数、数列、导数知识的渗入,使本来的分离参数法、根的分布法增添了思维难度,因而含参数不等式的恒成立问题常出目前综合题的位置.【解决方案】 解决此类问题的核心是将恒成立问题进行等价转化,使之转化为函数的最值问题,或者区间根的分布问题,进而运用最值原理或者区间根原理使问题获解,常用措施尚有函数性质法,分离参数法等.【示例】(本题满分2分)已知函数f()-a
9、x2,当1,+)时,f(x)a恒成立,求a的取值范畴 运用函数性质求(x)的最值,从而解不等式f(x)mn,得a的取值范畴.解题过程中要注意a的范畴的讨论.解答示范 ()(x-a)22-a2,此二次函数图象的对称轴为=(1分)(1)当a(,1)时,f(x)在-1,)上单调递增,f(x)inf(1)=2a+3.(3分)要使f(x)a恒成立,只需f(x)mina,即2a+a,解得a-3,即-.(分)(2)当-1,)时,f(x)min=f(a)=2-.(8分)要使(x)a恒成立,只需f(x)ma,即2-a2a(10分)解得21,即1a1.(1分)综上所述,实数a的取值范畴为3,(12分) 本题是运用函数的性质求解恒成立问题,重要的解题环节是研究函数的性质,由于导数知识的运用,拓展了此类问题深度和思维的广度,因此,解答问题时,一般的解题思路是先通过对函数求导,判断导函数的符号,从而拟定函数在所给区间上的单调性,得到区间上相应的函数最值【试一试】 当x(,)时,不等式2mx4恒成立,则m的取值范畴是_解析 法一 当x(,2)时,不等