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1、第2讲函数的单调性与最值1考察求函数单调性和最值的基本措施2运用函数的单调性求单调区间3.运用函数的单调性求最值和参数的取值范畴【复习指引】本讲复习一方面回扣课本,从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念，复习中重点掌握：()函数单调性的判断及其应用;(2)求函数最值的多种基本措施；对常用题型的解法要纯熟掌握.基本梳理.函数的单调性()单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数(x)的定义域为I如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当xx2时，均有f()f(x）,那么就说函数f(x）在区间上是增函数当x1x时,均有f（1)f(2)，那么就说函数f (x)在
2、区间D上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(）在区间上是增函数或减函数，则称函数(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做（x)的单调区间.2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件.对于任意xI，均有(x)；对于任意xI，均有f(x）M;存在xI,使得f(x)存在0I,使得f(x0)=M.结论M为最大值M为最小值一种防备函数的单调性是对某个区间而言的,因此要受到区间的限制例如函数y分别在（，），（0，+)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即（-,0)(，+)内单调递减，只能分开写,即函数的单调减区间为(
3、,0)和（,)，不能用“”连接.两种形式设任意1,b且10f（x)在a，上是增函数;0(x）在a，上是减函数.（x1-x)f(x1)f(x2)0f(x)在,b上是增函数；(1-x2)f(x1)f(x2)-1.即x24x+2,解得2x.答案3(保定一中质检)已知f(x)为R上的减函数,则满足f1,不等式等价于解得1x0,即x，而ylgu为(0，+)上的增函数,当x-时,=x+也为增函数,故原函数的单调增区间是.答案若x0,则x的最小值为_.解析 x,则x 2 当且仅当x,即x 时，等号成立,因此x的最小值为2 .答案 2 考向一函数的单调性的判断【例】试讨论函数()=的单调性.审题视点 可采用定
4、义法或导数法判断.解 法一f(x)的定义域为R，在定义域内任取1x2，均有(x)-f(x2)-，其中x1-x2,x+10,x+10.当x，2(1,1)时，即|x|1，21,|1x|,f(x1）-(x2)，f（1)(x2)，f()为增函数.当1,x2(-,1或1，+)时，1xx2,(1)f(x2），(x)为减函数综上所述,(x）在1,1上是增函数，在(-，-和,+）上是减函数法二 f()=,由f(x）解得-1.由(x)0解得x1或x,f(）在-1,上是增函数,在(，和1,+)上是减函数. 判断(或证明）函数单调性的重要措施有:()函数单调性的定义;（2）观测函数的图象;(3)运用函数和、差、积、
5、商和复合函数单调性的判断法则；(4）运用函数的导数等【训练】 讨论函数f(x）=（a0)在（-1,)上的单调性解设-x10，即(x1)(x）,函数(x)在(-，1)上递减;当0时，f（1)-f(x2)0,即f(x1)0)在(2,)上递增,求实数a的取值范畴审题视点 求参数的范畴转化为不等式恒成时要注意转化的等价性.解法一设22，由已知条件f(x1)f(x2)=(1-x2)a(x1-x2）0恒成立即当21a恒成立.又x1x24,则04法二f（x)，f()=得f（x)的递增区间是（,）,(，)，根据已知条件，解得4. 已知函数的解析式,可以判断函数的单调性，拟定函数的单调区间，反之已知函数的单调区
6、间可拟定函数解析式中参数的值或范畴，可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解【训练2】 函数在(1，）上单调递增,则的取值范畴是( ).A.a=-3 B.a0时,f（x)0，f（1).(1)求证:f（x)在R上是减函数；(2)求f(x)在-3，3上的最大值和最小值.审题视点 抽象函数单调性的判断，仍须紧扣定义，结合题目作合适变形()证明 法一函数f(x)对于任意x,yR总有f(x）+(）（x+y),令xy=0,得f(0)=0.再令x，得f(-x)f(x)在R上任取x1x2,则x1x20，f(x1)f(2)=f（1）+f（x2)f(x-2).又x时，f（）0,f(x1-x）,即f(x1)x2
7、,则f（1)(x2)=f(x1x2x2）-f(x）f(xx2)+f(x2)-f（x)=f（1x2）.又x时,f(x）0,而1x20,(x1-2）1时，f(x)0.(1)求f（1)的值；(2）判断f(）的单调性；(3)若f（3）-1，求f(x)在2,9上的最小值.解()令xx20，代入得f(1）f(x1)-f(x1)=,故f(1）(2)任取x1,x2(0,)，且x12,则1，由于当x1时，f(x）0,因此f0，即f(x1)f(x2）0,因此f（x1)f(x2)，因此函数f（x)在区间（0，+）上是单调递减函数()f()在0，)上是单调递减函数(x)在2,9上的最小值为f（9).由f=f(x1)f
8、（2)得，f()-(3)，而(3)=-1，因此f(9)=-2.f(x）在2，9上的最小值为2. 规范解答2如何解不等式恒成立问题【问题研究】 在恒成立的条件下,如何拟定参数的范畴是历年来高考考察的重点内容,近年来在新课标地区的高考命题中，由于三角函数、数列、导数知识的渗入，使本来的分离参数法、根的分布法增添了思维难度，因而含参数不等式的恒成立问题常出目前综合题的位置.【解决方案】 解决此类问题的核心是将恒成立问题进行等价转化,使之转化为函数的最值问题，或者区间根的分布问题，进而运用最值原理或者区间根原理使问题获解，常用措施尚有函数性质法，分离参数法等.【示例】（本题满分2分）已知函数f（）-a
9、x2，当1，+)时，f（x)a恒成立，求a的取值范畴 运用函数性质求（x）的最值，从而解不等式f(x)mn,得a的取值范畴.解题过程中要注意a的范畴的讨论.解答示范 ()(x-a)22-a2,此二次函数图象的对称轴为=（1分）(1)当a（,1）时,f(x)在-1,)上单调递增,f(x)inf(1）=2a+3.(3分)要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a+a,解得a-3，即-.(分)(2）当-1，)时,f（x)min=f(a)=2-.(8分)要使(x)a恒成立,只需f（x)ma，即2-a2a(10分)解得21,即1a1.（1分)综上所述，实数a的取值范畴为3,(12分) 本题是运用函数的性质求解恒成立问题，重要的解题环节是研究函数的性质,由于导数知识的运用，拓展了此类问题深度和思维的广度,因此,解答问题时，一般的解题思路是先通过对函数求导,判断导函数的符号,从而拟定函数在所给区间上的单调性,得到区间上相应的函数最值【试一试】 当x(,)时,不等式2mx4恒成立，则m的取值范畴是_解析 法一 当x(,2）时,不等
