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1、第六章 几个典型的代数系统本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等我们先讨论最简单的半群 6.1 半群 定义 6.1 称代数结构为半群（semigroups），如果 * 运算满足结合律当半群含有关于 * 运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群 例6.1 ，都是半群，后两个又是独异点 半群及独异点的下列性质是明显的定理6.1 设为一半群,那么（1）的任一子代数都是半群，称为的子半群 （2）若独异点的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为的子独异点 证明简单，不赘述 定理6.2 设,是半群,h为S到S的同态,这时称h为半群同态对半群同态有 （1）同态象为一半
2、群 （2）当为独异点时，则为一独异点. 定理6.3 设为一半群,那么 （1）为一半群，这里SS为S上所有一元函数的集合， 为函数的合成运算 （2）存在S到SS的半群同态 证（l）是显然的 为证（2）定义函数h:SSS：对任意aS h（a）= fa fa：SS 定义如下: 对任意xS， fa（x）= a*x 现证h为一同态对任何元素a,bS h(a*b)fa*b （l11） 而对任何xS， fa*b（x）= a*b*x = fa（fb（x）= fafb （x） 故fa*b = fafb ,由此及式（l11）即得 h（a*b）= fa*b = fafb h（a） h（b）整理为word格式本定理称
3、半群表示定理。它表明，任一半群都可以表示为（同态于）一个由其载体上的函数的集合及函数合成运算所构成的半群。这里同构于 - 的一个子代数6.2 群群是最重要的代数结构类，也是应用最为广泛的代数结构类.我们以后要深入研究的代数结构环和域也都是以群为基础的.6.2.1 群及其基本性质 定义6.6 称代数结构为群（groups）,如果 （1）为一半群 （2）中有么元e. （3）中每一元素都有逆元 或者说，群是每个元素都可逆的独异点群的载体常用字母G表示 ，因而字母G也常用于表示群 定义 6.7 设 为一群 （1）若 * 运算满足交换律，则称G为交换群或阿贝尔群（Abel group）阿贝尔群又称加群，
4、常表示为（这里的 + 不是数加，而泛指可交换二元运算回忆: *常被称为乘）加群的么元常用0来表示，常用-x来表示x的逆元. （2） G为有限集时，称G为有限群（finite group）,此时G的元素个数也称G的阶（order）；否则，称G为无限群（infinite group） 例6.6 （1）（整数集与数加运算）为一阿贝尔群（加群）,数0为其么元.不是群因为所有非零自然数都没有逆元. （2）（正有理数与数乘）为一阿贝尔群，1为其么元. 不是群，因为数0无逆元 （3）为一k阶阿贝尔群, 数0为其么元 . （4）设P为集合A上全体双射函数的集合， 为函数合成运算.那麽 为一群A上恒等函数E A
5、为其么元。一般不是阿贝尔群. 群的下列基本性质是明显的. 定理1l.9 设为群，那麽 （1）G有唯一的么元，G的每个元素恰有一个逆元 （2）关于x的方程a*xb，x*ab都有唯一解（3）G的所有元素都是可约的因此，群中消去律成立：对任意a,x,ySa*x = a*y 蕴涵 x = y ; x*a = y*a 蕴涵 x = y （4）当G e时, G无零元整理为word格式（5）么元e是G的唯一的等幂元素. 证（1）,（2）,（3）是十分明显的 （4）若G有零元,那么它没有逆元，与G为群矛盾。（注意，G = e时,e既是么元，又是零元.）（5）设G中有等幂元x，那么 x*x = x 又 x =
6、x*e 所以 x*x = x*e 由（3）得x = e 。由（3）我们得知，特别地，当G为有限群时，* 运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列从而有限群的运算表中没有一行（列）上有两个元素是相同的因此，当G分别为1，2，3阶群时, * 运算都只有一个定义方式(即,不计元素记号的不同,只有一张定义 * 运算的运算表,如表6.2所示),于是可以说,1,2,3阶的群都只有一个. 定理6.10对群的任意元素 a,b， （1）(a-1)-1a（2）(a*b) -1b-1*a-1 （3）(ar) -1 = (a1)r（记为ar）（r为整数） 证（2）(a*b) *(b-1*a-1) = a*(
7、b *b-1)*a-1 = e (b-1*a-1)*(a*b) = b-1*(a-1*a)*b = e 因此a*b的逆元为b-1*a-1，即(a*b) -1b-1*a-1（3）对r归纳.r = 1时命题显然真.设(ar) -1 = (a1)r,即(a1)r 是ar的逆元.那么 ar+1*(a1)r+1 = ar*(a*a-1)*(a1)rar*(a1)r = e (a1)r+1* ar+1 = (a1)r*(a-1*a)* ar(a1)r* ar = e 故ar+1 的逆元为(a1)r+1，即(ar+1) -1 = (a1)r+1归纳完成, （2）得证. 对群的任意元素 a,我们可以定义它的幂
8、：a0=e，对任何正整数m，am+1=am*a，又据定理6.1O，在群中可引入负指数幂的概念：a-m= (a-1)m，且容易证明: 定理6.11 对群的任意元素 a,b，及任何整数m，n, （l）a m*a n = am+n （2）(a m) n = amn 如果我们用aG和Ga分别表示下列集合aG = a*g | gG， Ga = g*a | gG那么我们有以下定理 定理 6.12 设为一群,a为 G中任意元素，那么aG = G = Ga特别地，当G为有限群时，* 运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列整理为word格式证 aG G是显然的 设 gG，那么a1*gG，从而a*(a
9、1*g) aG，即 gaG因此 GGa aG = G得证Ga = G同理可证这一事实的一个明显推论是：当G为有限群时，* 运算的运算表的每一行（列）都是G中元素的一个全排列.从而有限群的运算表中没有一行（列）上有两个元素是相同的因此，当G为1，2，3阶群时, * 运算都只有一个定义方式(即,不计元素记号的不同,只有一张定义 * 运算的运算表,如表6.2所示),于是可以说,1,2,3阶的群都只有一个. 表6.2*e*ea*eabEeeeaeeabaaeaabebbea 对群还可以引入元素的阶的概念. 定义6.8 设为群，aG，称 a 的阶(order)为n，如果an = e,且n为满足此式的最小
10、正整数.上述n不存在时,称a有无限阶.例6.7(1) 任何群G的幺元e的阶为1, 且只有幺元e的阶为1。(2) 中幺元0的阶为1，而整数a 1 0时,a有无限阶.(3) 中1的阶是6,2的阶是3,3的阶是2,4的阶是3,5的阶是6. 关于元素的阶有以下性质. 定理6.13 有限群G的每个元素都有有限阶,且其阶数不超过群G的阶数 | G | .证 设a为G的任一元素,考虑 e = a0 ,a1 ,a2 , ,aG这 | G |+1个G中元素.由于G中只有 | G |个元素,因此它们中至少有两个是同一元素,不妨设 ar = as (0 r s | G | )于是as-r = e,因此a有有限阶,且
11、其阶数至多是s-r,不超过群G的阶数| G | .定理6.14 设为群,G中元素a的阶为k,那么,an = e当且仅当k整除n .证 先证充分性 设 ak e，k整除n，那么n = kr（r为整数），因为ak e，所以an = akr = (ak )r = e r = e 。 再证必要性 设 an e，n = mk r，其中m为n除以 k的商，r为余数，因此0 rk 。于是eanamk+ramk*arar整理为word格式因此,由k的最小性得r = 0，k整除n 定理6.15 设为群，a为G中任一元素，那么a与a-1具有相同的阶证 只要证 a具有阶n当且仅当a-1具有阶n 。由于逆元是相互的，
12、即(a-1)-1a，同此只需证：当a具有阶n时，a-1 也具有阶n 。 设a的阶是n，a-1的阶是m 。由于(a-1)n(an)-1e -1 e 故mn 。又因为a m(a-1)m)-1 e -1 e 故nm 。因此，nm 。6.2.2 子群、陪集和拉格朗日定理定义6.9 设为群称为G的子群(subgroups)，如果为G的子代数 ，且为一群 子群有下列特征性(判别法) 定理6.16设为群，那么为子群的充分必要条件是 （l）G的么元eH （2）若a，bH ，则a*bH （3）若aH，则a-1H 证 先证必要性 设H为子群那么（2）是显然的（因H为子代数）为证（l）,设的么元为e,那么e* e= e。由于在G中只有e是等幂元,故e = e , eH得证 .为证（3）设中任一元素a的H中逆元为b,那么a*b
