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1、anan 1(7)项数为奇数2n 1的等差数列an有S2n1 (2n 1)an(an 为中间项),S奇S偶an,且上S偶 n 12.等比数列的定义与性质定义：9q (q为常数，q 0), an a1qn 1an.等比中项：X、G、y成等比数列G2 xy ,或G前n项和：Snna(q 1) na1 1 q(要注意！)(q1)性质：an是等比数列(1)若 m n p q ,贝U am/ an ap- aq(2) Sn, S2n Sn, S3n S2n仍为等比数列，公比为q注意：由Sn求an时应注意什么？n 1 时，a S;n 2 时，an Sn Sn 1 .3.求数列通项公式的常用方法(1)求差(
2、商)法111如：数列 an , - a1 2a2 -an 2n 5 ,求 an2222n数列基础知识点和方法归纳1.等差数列的定义与性质 定义：an i an d (d 为常数)，an a1 n 1 d 等差中项：x, A, y成等差数列 2Axy现 an nn n 1刖n项和Sn nai d22性质：an是等差数列(1)若 m n p q,贝U am an ap aq；(2)数列a2n1 ,a2n,a2n1仍为等差数列，S2nS3nS2n仍为等差数列，公差为n2d ；(3)若三个成等差数列，可设为 a d, a, a d(4)若an, bn是等差数列，且前n项和分别为Sn, Tn,则血 阻b
3、m T2m1(5) an为等差数列Sn an2 bn (a, b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数)Sn的最值可求二次函数Sn an2 bn的最值；或者求出an中的正、负分界项，a 0.即：当a1 0, d 0,解不等式组 n 可得Sn达到最大值时的n值.an 10a 0 一当a1 0, d 0,由可得Sn达到最小值时的n值.an 10(6)项数为偶数2n的等差数列an 有S2n n(a1 a2n) n(a2 a?n 1)n(an an1)(an, an 1 为中间两项)解n 1时,n 2时,1-a12 15,21可转化为等比数列，设an Xc an 1Xan can 1 c 1 X12n
4、 1 an 12n令(c 1)x d , . xan是首项为ai,c为公比的等比数列c 12n 12 ?an14(n 1)n 1 .2 (n 2)练习数列an满足aSn1注意到an 1Sn 1Sn ,代入得5 a3S,Sna1是等比数列,Sn4nn 2 时，anSnSn13-4n(2)叠乘法如:数列an中,a1a an 1 3,an求ana2a3a1 a2anan 1ana3,一 an(3)等差型递推公式附:由 an an 1 f (n), a1a0 ,求an ,用迭加法a2 al f (2)n 2时，a3 a2 f两边相加得ana1f(2)f(3)f (n)anan1 f (n) an a0
5、f(2)f(3)f (n)练习数列an中，a11an3n 1an求anan (3n(4)等比型递推公式ancan 1 d (c、d 为常数，c 0, c 1, d 0 )(5)倒数法a1一 an如：a11 an 1,，1由已知得：an 12anan 2an 22an1为等差数列，-ana1，求an1 12 anan11,公差为:an公式法、利用an4(n1)Sn Sn1(n 2)、累加法、累乘法.构造等差或等比an 1pan q 或an4.1 pan f(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法求数列前n项和的常用方法(1)裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相
6、反数的项如：an是公差为d的等差数列，求k 1 akak 1一 ,1解：由ak, ak 1ak akd akf(1) f(2) ff(3)f(4)k 1 HkHk 1 kak1ak 1a11a211a2a311anan 1r1由 f(x) f - x2x2 x1 1d a11an 1x21x2x1 x2练习求和:Sn12 311原式 f(1)f(2)f(3) ff(4) f(2)错位相减法、等差等比数列复习题若an为等差数列,bn为等比数列，求数列anbn (差比数列)前n项和，可由SnqSn ，求Sn,其中q为bn的公比.如：Sn 1 2x3x234xn 1 nx2.、选择题如果一个数)(A
7、)为常数数列在等差数列an既是等差数列，又是等则止匕数列(B)为非零的常数数列(C)存在且唯(D)不存在a14 ,且a1，a5 , a13成等比数列，则an的通项公式为x- Sn x2x23x34x4nnx一1Snnnx(A)an 3n 1(B) a。(C) an3n 1 或 a0 4(D) a3 或 an 4x 1时,Snnx2xn nx1 x1时,Sn3、已知a,b,c成等比数列,且x, y分别为a与b、b与c的等差中项，则-的值为y(3)倒序相加法把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加1(A)-2(B)(C) 2(D) 不确定Sna1Snana2an 1an 1a2an相加2Sna
8、1aana2an 1aan练习已知f (x)4、互不相等的三个正数a,b,c成等差数列,x是a, b的等比中项，y是b, c的等比中项,那么x2,b2, y2三个数()(A)(C)成等差数列不成等比数列 既成等差数列又成等比数列5、已知数列an的前n项和为Sn ,(B)成等比数列不成等差数列(D)既不成等差数列，又不成等比数列S2n 1 4n2 2n ,则此数列的通项公式为(A) an 2n 2(B) an8n 2(C) an2n 1(D) ann2 n13、各项都是正数的等比数列 an ,公比q 1 a5,a7,a8,成等差数列，则公比q=6、已知(z x)2 4(x y)(y z),则()
9、(A) x,y,z成等差数列(B) x,y,z成等比数列(C) 1,1成等差数列(D)工x y zx y z成等比数列7、数列an的前n项和Snan 1 ,则关于数列a0的下列说法中，正确的个数有14、已知等差数列an ,公差d 0, a1,a5,a17成等比数列，则a1 a5 a17 =a2 a6 a181 .15、已知数列an湎足Sn 1 an,则an =416、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入 的这两个数的等比中项为二、 解答题17、已知数列 an是公差d不为零的等差数列，数列ab,是公比为q的等比数歹b1 1,b2 10,b346一定是等比数
10、列，但不可能是等差数列可能是等比数列，也可能是等差数列 可能既是等差数列，又是等比数列一定是等差数列，但不可能是等比数列 可能既不是等差数列，又不是等比数列(A)(B) 3(C) 2(D)14,31,51,7-1,8 16(A) n212n(B) n2L 2n 1(C) n(D)12n 118、已知等差数列an的公差与等比数列bn的公比相等，且都等d (d 0, d 1) , a1b1 , a3 3b3,a5 5b5,求 an,bn。9、若两个等差数列anbn的前n项和分别为An Bn,A.且满足冬Bn4n 2 则 a5 a135n 5 b5 bi3的值为()(A)-9(B)-19(C) 19
11、20(D)10、已知数列an的前n项和为Snn2 5n 2,则数列an的前10项和为19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为 216,后三个数成等差数列，其和为36, 求这四个数。()(A) 56(B) 58(C) 62(D) 6011、已知数列an的通项公式an n5为，从an中依次取出第3, 9, 27,项,按原来的顺序排成 ()个新的数列，则此数列的前n项和为(B) 3n53n 10n 3(5n 1(D) 10n 3、填空题20、已知an为等比数列，a3 20 a4203求 an的通项式。第九单元数列综合题题号123456789101112答案BDCAAACADDDD、选择题、填空
12、题1 . 52641 n13. 14.15.-( -)16.6 . 322933三、解答题21、数列an的前n项和记为Sn,ai 1,an 1 2Sn 1 n 1(I )求an的通项公式；(H)等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn,且T315,又a1b1,a2b2,a3b3成等比数列，求Tnb =a1, a b2 =a10=a1 +9d, a 馆=a46=a1+45d由abn为等比数例，得(a1+9d) 2=a1( a1+45d)得 a1=3d,即 ab1=3d, ab2=12d, &3=48d.1. q=4 又由abn是an中的第bna项，及 abn=ab1-4 n-1=3d- 41a1+(bn-1) d=3d-4n-1n-1 , . bn=3-218.，a3=3b3,a1+2d=3ad ,a1(1-3 d2)=-2 d 4a5=5b5,a1+4d=5a4 , /. a1(1-5 d )=-4 d /日 1 5d4 0，得2 =2 ,1 3dd2=1或d2=,由题意，d=,a1=-V5。an=a1+(n-1)d=-555(
