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1、两个鞅过程背景：“鞅” 一词来源于法文martingale的意译，原意是指马的笼套或者船的索具，同时也指 一种逢输就加倍赌注，直到赢为止的恶性赌博方法double strategy)。鞅究竟是什么呢？简单 的说，鞅是“公平”赌博(fair game)的数学模型。那么什么又是公平的赌博呢？假设一个 人在参加赌博，他已经赌了n次，正准备参加第n +1次赌博。如果不做什么手脚，他的运 气应当是同他以前的赌博经历无关的，用Xn表示他在赌完第n次后拥有的赌本数，如果对 于任何n都有E(Xn 1 Xn-1)二Xn-1成立，即赌博的期望收获为0 ,仅能维持原有财富水平不 变，就可以认为这种赌博在统计上是公平
2、的。鞅在20世纪70年代末期被引入金融经济学用来描述资产的价格运动过程。定义：设X(t),t e T为随机过程，如果 E| X (t)| +a, t e Tt V t V V t V t(2)对T中的随意参数1V V : V，有EX (t)| X (t ), X (t )，,X (t1)二 X (tn )则称X(t)，t e 丁为鞅(鞅过程)。设Xn 及Yn ，n=0,1,2,，为两个随机序列,对任意n - 0，有(1)E| X Ivan(2)X YYn是0，n的函数;(3)E(XI Y ,Y )二 Xn+10nn则称Xn 关于Yn 为鞅，简称Xn为鞅。设Xn 及Yn ，n=0,1,2,，为两
3、个随机序列,对任意n - 0，有X YYn是0 n的函数;E(XI Y ,Y ) Xn，则称X“关于I 为下鞅，简称为下鞅。条件:1、如果X(t),t e T为鞅，则它有某种无后效性，即当已知时刻以及它以前的值X (t1), X (t2),X (tn )，那么+1时刻的值X (tn+1)对X (t1), X (J,X ()的条件期望与时刻2以前的值X (卩X (t2)，X (tn-1)无关，并且等于X (tn )2、X(t),t e T为鞅的充分必要条件是，X(t),t T既为上鞅也为下鞅。例子:例1：假设一个人在参加赌博，设赌徒每局赢的概率为/2，事件y = 1表示第n局赢，y =-1表示第
4、n局输，所以nP(y = 1)= P(y =-1)=nn/ 2E【y = 0n假定y ,n 0是独立的，而赌者在第n局的策略g依赖于以前n-1局的战绩,n即赌注b是y ，,y ,y ,y的函数，我们记之为nn-12 10bn= g60,冒 yn-1 I则第n局的盈亏为x = x + Y byn0k kk =1这里设初始赌注为x 0，于是我们可知0ex - x = 0nn-1即，平均地讲，净利的平均值为零。事实上eL x = eL Elx nn-1nn-1=eIe L |feIx n n-1n-1=E L - E x = 0n-1n-1因此该事件是一个鞅过程。例2：模拟股票价格的实验中，现在假定n时刻的股票价格为S”，而在n +1时刻，股票价格 将以p二(1 -d)/(U -d)的概率上涨到uS”；或者以1 p的概率下降到dS”，即：fuS概率为p门,S = ”亠，0 d u”+1 IdS概率为1-pn则下一时刻股票价格的数学期望为：E(S I S )二 uS p + dS (1 - p)二 S u (1_ d) + d (u _ 二 Sn+1 nnnnu dn因此遵循这种二项过程的股票价格运动就是一个鞅过程。
