胡不归问题模型胡不归例题模型

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1、胡不归问题模型及其应用廊題重现：（来涯；高邮市88化学校独立练习（6）如0B1所示r抛物线严2 - 2x - 了与渝交于A、B两点f过B的线交?物线于E r RtanzEB A=4/3，有一只网从A出发，先UU单位虫的速度爬到蟻段匪上的点晦，再UZ125单位/啲 速度沿 着DE眶到E点处更負则茅蚁从 A到E的层短时间是 s .醫堀驛块这个所谓难念“不得不提迂一起昔名的、大名夙刚的古老的胡不归问题.、模型曲故（“頡不归“问題 下文来漁于网塔有一则古老的历史故事：说的量一个身在佗多的小伙子（得知父亲病危的涓绘后便日夜赶路回家撚而当他代喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽7 了？人们告诉他在期留之际

2、老人在不断啊阐地叨念：“胡不归？相不归 ？十旦期的科学赢賞为这则古老传说中的小快子设想了一辜路蛭:如團1-1所示，A是出发地，BB目的地；AC垦F驿道，而驿逍靠冒的地的一口全呈砂土地帯 .为了亀切回家，小伙子选择了直战路程AB.但是他忽略了在驿道上彳徒箕比在砂土地带行走快的这_因素如果他曹继4寮台适的路皱（尽管遠条路钱長一些但是速度却可以加快）是可以提前抵达家门的.8那么？他应该选择羽際路觑?显然，根据两种路面的状况和在鼻上行走的速度值.可以在A（:上选逵一点D .小快子从A走到D r然后从D折往B .可望扇早至哒目的地 B+用现代的数学港言表达出来就是：已知在驿道和砂地上行走的速度分SJ7V

3、I和也,在AC上找一定点D，使从A至D,再从D至B的行走时闾嚴.于是问题在于女咧去找出D点？这个 古老的“胡不归冋题冈靡了 T峯年r 直到十七世纪 中叶？才宙法匡着名科学宣務 尔马播幵了它的面妙.模型解决第一步设出时问“将數学冋毎字母化）:设总时间为t,则“耳+子，这里VV19耳V更求的就是I的巖小值，这是一个系数不为】的最值问題，而且有两个系数均不为第二步掳敢“大系數”，化为只有一个系数不为 1的晟侑问題：一般情况下，週 到两个系数不为1的最值问題，苜先 要将其转化为里个系数不为 1的最值问尬，这个转化 还是比较好实现的，只需提取一个系数出来即可； 问题是，该提取哪个系数比较好呢？ 一般情况

4、下，提取数值比较大的那个系数：董本沁，呻吓吹达式中两个系吩脣因砲沁严来，卄丄（冬？仞？ &）,注意这里人与岭均为常数，这样要求I的最小值，只要求AD+DB勺最小值即可，从而问竝核转化为单个系数不为1的最值问題；：如何求解冬第三步构造三角的数，化为系数均为 1的常規最值冋題：如何求解冬/ADPB%的最小值问越呢？还是要您办法处理不为1的系数，将系数都化为1.但罡问題来了，此时明显不能再用提取系数的办法了！那咋办？数学是门神奇的科学，只有你想不到，没耳地做不到的！联想到初中阶段学到的锐角三角因数，可以构造一个直角三角形，将不为1的系数无 形中化为1,这也罡解决所谓“胡不归问題的核心与难点所在，具体

5、襟作如下：由冬VI联想到三角函数值，如图1? 2所示，过定点A在JS线AC的下方构造税甬Z *1yCAE=a 使其满足 sina = j,从而有DG二空？ 4D ;再过动点D作DG丄AE于点G,则sina =片其 f：i,i图1? 2宴吩4嘶最仙懸，叭利转化必+场叭、值问题，变成了一个系数均为1的常规最值问題需要特别提醒大家的是，这里的关键角a是依托于瑯些考虑作岀来的呢？注意到显原始的胡不归问题是一个两走一动型品值问题，只不过荼数不为1 了而已；如图1-2，点 A和点B是两个定点，点D是一个动点，且定点A与动点D在同一条定直线 AC 上;上面的角a其实 就是依托于这里的定点 A及定直线AC做出

6、的,即过定点A作一条肘线与定直线 AC所交锐角为角a即 可！说到底就是抓不变示的解题策略，依托于定点A及定直线AC作角a，使其满足sina =V2/V1,即可 顺利将所谓胡不归难题“转化为系数均为1的韋规 鼠值问题！第四步(利用“垂线段杲匹原理”，解决系数均为1的常規最值冋題：注意到构造 的AE也是 一条定射线，要求DG + DB的最小值问题，其实就是左两定直线 AC、AE 土分别找点D、G,且DG 丄AE,使DGPB小.先利用“两点之间线段晟短易ADGADBB,G当且仅当B、D、G三点共线时 取爹号丿如團1-3所示，再利用“垂线段最短”只爲过点B作BG丄AE于点G,此时BG最小，则BG与AC

7、的交点即为所要寻找的点 D)S1-3因而 t= ? Q + DB）二丄（DG+DB） A 丄 BG 二丄？肋？ sinZB4G,其中 冬片AB及乙BAG匀为常值，故所求时间的最小值为丄？AB sinZBAG.K至此，胡不归”模型得到完矣I?决！如果奄竜一息的父亲能够坚持封1-JB sinZBJGiA个时间，那么就能够见他的儿*2子杲后一面了！三、原题解决 回到我们最初的考题上，设蚂奴从点A到点E所関的时间为t,如厨1-4,则t= + =JD + ，要求的就是t的最小值，即JD + 的巖小值：11.2555很明显，这就是一个曲型的“胡不归”问题，可按照上述解决模型的步礫进行操作：图1? 44过定

8、直线第一步（构三角的数，化系数为1）:由系数牛VI联想到三角函数值，如图1.5所示,EB土的定点E在直线EB的上方构造锐角 ZBEF=a,使;再过动点D作DG丄EF于点G, WJ sina=-=，从而 WDG=- DE y 八5 DE4DE1的最值问題;这样t=JD + =ADADG,转化为了常规的系数均为5第二步（寻縣目特 Sett,委新谓整囹形：但先不要忙于计算，我们还鉴敏锐地竜识44到此题有个角很特殊，那就是 tanZEBA=-,由此易知sinZEB#-,因而刚刚我们所作 3 5的ZBEF=ZEB4,从而岌观此题的特珠性“ RPEF/X揍下来乳匸把图形调整成图1图1? 6第三步（利用“垂

9、线段屋短原理”，解次系数均为1的常銀是侑冋趣）：注童到构造的EF也衆一条定射线，要求 AD+DG的最小值问题，其实就罡在两定直线 EB、EF上分别找 点D、G, 且DG丄EF,使AD+DG最小.先利用“两点之间线段最短易AADADGAAG当且仅当A、D、G三点共线时 取奪号； 如图1? 7所示，再利用“垂线段最短”只霧过点A作AG丄EF于点G,此时AG最小，则AG与EF的交点即为所賛寻找的点D;=AD+DGAG,故所求时间t的最小值即为AG的长，即点E的纵坐因而t=JD + 5图1-7第四步（求定点E的坐标）：这里提供两种方法求点E的坐标； 方法一（求交点坐标）：设直线EB与y轴交于点如图1?

10、 8所示，由題易知点B4的坐标为（3, 0），在RtAMOB中由tanZEBA二一知10帖4,则点11坐标为（0, 4）;34由B（ 3, 0）及K （ 0, 4）可得亶线EB的解析式为尸-jxH;4彳联立言线EB与挖物线的解析式得：仁 3,即宀2厂3 = -x + 4,即y = x2-2x-333宀2厂21=0,解之得耳二-?, Xj=3 （舍去），故点E的坐标为（-?,）;339方法二（设坐标法：设点 E的坐标为（I, r-2r-3,过点E作EH丄x轴于点H,如S 1-9所示，在 RtAEHB中由tanZEBA二 可得一即（一 3X+ I） =g ,即3 BH 337347764（r +1

11、）= 解得r = 9故点E的坐标为（一9 ）;3339因此，所求时间t=AD的最小值为聖.59此题播定，所谓的“难蝕”看来也不是太难啊，玩的都罡“倉路”！图1? 9解題后反思：平时”套路积累多了，真的遇到了所谓的套路题”，同学们就能立于不败之地了！这题也给我们的敦学一走的启发性，即应该車视模型敎学这一块！有人说成也模型， 败也模型，但我想说如臬負的不讲模型或者说不先经历模型过程，真的憐E出模型达到更高 境界也是痴心妄想！初中阶段学生还是应该申视模型的积累与应用过程，可以这样说，每一节新课，毎一道题目可能都能称之为一个模型！其实名称都是回审.或者说叫某某模型也无所 谓，之所以起名称，更主要的还是

12、希盅学生能做到顾名思义之效，晶终达到熬能生巧之目 的！【来龙】3有一则历史故事说的是，一个身在他乡的小伙子得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人还在不断？商响的叨念：“胡不归？胡不归？”卩早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线 （见图1）-4是出发地，2?罡目 的地，必罡一条释道，而驿道第目的地的一侧全罡砂土地带。为了急切回家，小伙子选择了直纟轴程肿但是他忽略了在驿道上行走要比在砂土地帯行定快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快，罡可以提前抵达家门的。那么这应该

13、魁哪条路线呢？显然，根抿两种路面的状况和在其上面行走的速度值，可以在“上鮭一点D小伙子从久走到6可望巖早到达B。4用现代的科学语言表达就是：“已知在驿道木附地上行走的速度分别为VI和V2,在”上求一个定点D使得十-尸3的f亍走时间最匡”于罡冋題在于如何去找出D点【建模】起点為圧冬点B固定，在过*点的定直线上取一点6使得r= + 的值最小，Vi V2可以转化为求 D.J.DB （0-1） sSi-ADA-DB （0-1型的最值问题*mmmm【解模】具体例子：如图，一条笔直的公路 /芽过草原，公路边有一消防站 A,距离公路5千米 的地方有一居 民点B、B的亘线距离罡13千米.一夭，居民点B着火，消

14、防员受命箱1往救火，若消防车在公路上 的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度罡 40千米/小时，则消防车在出发后最快经过 _d、时可到达居民点文（友情提董：消防车可从公路 的任意位曲入草地行驶.八13/;c解析:设消防车从公路上点 D进入草地行驶。问题是逊1尸罟+欝?右 + DB）的最小值，问題立即转化为求：加+M的最小值。213接下来就是“套路”:构造一条线段轸于寸 DA ,并将新线段与线段DB “接起来”，在 初中数 学中我们学习过三个“一半”定理：矗直角三角形中30。说角所对直角边爹于赭边一半（劝30 I） 三角形中位线平行第三边月麻第三边长的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。它rffi解决线段倍分去系的利器？我fj獺抿血30。V来解 决任务:衽直线/的下方作ZG4A/=30 ，过点D作DE M于点则DW + DA$、再往下来就太容易了。卩问1鮮专为求折絃段aaw的聚小值。你会解决了吗？宜接上图算了。由“垂线段最短”的基本数学事实出发，可咲过点 3作BF丄于点几交M于点巧 则点砂卩为所求，此时DF :D4、。2出此题由对顶三角形显然有 ZCBD03O ，逬而 CBD :可解，求出CDJOBD沏长后，就能求的最终答案了ZCBD f=30, CD-105M、.【归纳H胡不归问題模型的解