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1、平面向量 重难点解析课文目录 21平面向量的实际背景及基本概念 22平面向量的线性运算 23平面向量的基本定理及坐标表示 24平面向量的数量积 25平面向量应用举例 目标：1、理解和掌握平面向量有关的概念；2、熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；3、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；4、明确平面向量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面的应用；重难点：重点：向量的综合应用。难点：用向量知识，实现几何与代数之间的等价转化。【要点精讲】1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：用有向线段表示-(几何表示法)；用字母、等表示(字母表示法)
2、；平面向量的坐标表示（坐标表示法）：分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，叫做向量的（直角）坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，。；若，则，3.零向量、单位向量：长度为0的向量叫零向量，记为； 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：就是单位向量）4.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定与任一向量平行.向量、平行，记作.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.性质：是唯一） （其中 ）5.相等向量和垂直向量：相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.垂直向量两向量的
3、夹角为性质： （其中 ）6.向量的加法、减法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。平行四边形法则： （起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）三角形法则加法法则的推广： 即个向量首尾相连成一个封闭图形，则有向量的减法向量加上的相反向量，叫做与的差。即： -= + (-)；差向量的意义： = , =, 则=- 平面向量的坐标运算：若，则，。向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：(+) +=+ (+)常用结论：（1）若，则D是AB的中点（2）或G是ABC的重心，则7向量的模：1、定义：向量的大小，记为 | 或 |2、模的求法：若 ，则 |若， 则 |3
4、、性质：（1）； （实数与向量的转化关系）（2），反之不然（3）三角不等式：（4） （当且仅当共线时取“=”）即当同向时 ，； 即当同反向时 ，（5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，即8实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：（1）|=|；（2）0时与方向相同；0；当与异向时，0，0则=+ |=|=1 =|，=| OEC中，E=600，OCE=750，由得： 说明：用若干个向量的线性组合表示一个向量，是向量中的基本而又重要的问题，通常通过构造平行四边形来处理例2、已知ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量坐标。解题思路分
5、析：用解方程组思想设D（x，y），则=（x-2，y+1）=（-6，-3），=0 -6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0 =(x-3，y-2)， -6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0 由得： D（1，1），=（-1，2）例3、求与向量=，-1）和=（1，）夹角相等，且模为的向量的坐标。 解题思路分析：用解方程组思想法一：设=（x，y），则=x-y，=x+y = 即 又|= x2+y2=2 由得 或（舍）=法二：从分析形的特征着手 |=|=2 =0 AOB为等腰直角三角形，如图 |=，AOC=BOC C为AB中点 C（）说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的
6、几何性质可以简化计算。例4、在OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使|=13，|=14，设线段AN与BM交于点P，记= ，=，用 ，表示向量。解题思路分析： B、P、M共线 记=s 同理，记 = ,不共线 由得解之得： 说明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数（如s，t）是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于s，t的方程。例5、已知长方形ABCD，AB=3，BC=2，E为BC中点，P为AB上一点（1） 利用向量知识判定点P在什么位置时，PED=450；（2） 若PED=450，求证：P、D、C、E四点共圆。解题思路分析：利用坐标系可以确定点P位置
7、如图，建立平面直角坐标系则C（2，0），D（2，3），E（1，0）设P（0，y） =（1，3），=（-1，y） =3y-1代入cos450=解之得（舍），或y=2 点P为靠近点A的AB三等分处（3） 当PED=450时，由（1）知P（0，2） =（2，1），=（-1，2） =0 DPE=900又DCE=900 D、P、E、C四点共圆说明：利用向量处理几何问题一步要骤为：建立平面直角坐标系；设点的坐标；求出有关向量的坐标；利用向量的运算计算结果；得到结论。【考点剖析】考点一：向量的概念、向量的基本定理【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，
8、理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量有且只有一对实数1、2，使=1+2. 注意：若和是同一平面内的两个不共线向量，【命题规律】有关向量概念和向量的基本定理的命题，主要以选择题或填空题为主，考查的难度属中档类型。例1、（2007上海）直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量在直角三角形中，若，则的可能值个数是（）1 2 3 4解：如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线
9、x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角所以 k 的可能值个数是2，选B点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想。例2、（2007陕西）如图，平面内有三个向量、,其中与与的夹角为120，与的夹角为30,且|1，| ，若+（，R）,则+的值为 .解：过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90角AOC=30，=得平行四边形的边长为2和4，2+4=6点评：本题考查平面向量的基本定理，向量OC用向量OA与向量OB作为基底表示出来后，求相应的系数，也考查了平行四边形法则。考点二：向量的运算【内容解读】向量的运算要求掌握
10、向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。例3、(2008湖北文、理)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)c=（ ）A.(15,12)B.0 C.3 D.11解：(a+2b)，(a+2b)c ，选C
