《2023-2024学年重庆市名校联盟高一（下）期中数学试卷（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023-2024学年重庆市名校联盟高一（下）期中数学试卷（含解析）（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2023-2024学年重庆市名校联盟高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(1i)(2+i)=()A. 1iB. 1+3iC. 3iD. 3+3i2.已知向量a=(1,x)，b=(1,3)，若向量2a+b与向量b平行，则x的值为()A. 3B. 0C. 43D. 433.用斜二测画法作一个边长为6的正方形，则其直观图的面积为()A. 36B. 18 2C. 9 2D. 9 224.若|a|=2，|b|=1，且a(a4b)，则向量a，b的夹角为()A. 30B. 60C. 120D. 1505.在ABC中，cos
2、C=23，AC=4，BC=3，则cosB=()A. 19B. 13C. 12D. 236.中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台ABCDA1B1C1D1，上下底面的中心分别为O1和O，若AB=2A1B1=4，A1AB=60，则正四棱台ABCDA1B1C1D1的体积为()A. 20 23B. 28 23C. 20 63D. 28 637.如图，在ABC中，AD=23AC，BP=13BD，若AP=AB+AC，则的值为()A. 3B. 3C. 2D. 28.已知ABC中，AB=AC
3、=5，BC=6，点D为AC的中点，点M为边BC上一动点，则MDMC的最小值为()A. 27B. 0C. 716D. 916二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法不正确的是()A. 若直线a面，直线b面，则直线a，直线b无公共点B. 若直线l/面，则直线l与面内的直线平行或异面C. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱D. 有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台10.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列叙述正确的是()A. a=3，b=4，A=150，有两解B. 若acosB=bcosA，则ABC为等腰三
4、角形C. 若ABC为锐角三角形，则sinAcosBD. 若sinA：sinB：sinC=2：3：4，则ABC为钝角三角形11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是ABC内一点，BMC，AMC，AMB的面积分别为SA，SB，SC，且SAMA+SBMB+ScMC=0.以下命题正确的有()A. 若SA：SB：SC=1：1：1，则M为ABC的重心B. 若M为ABC的内心，则BCMA+ACMB+ABMC=0C. 若BAC=45，ABC=60，M为ABC的外心，则SA：SB：SC=
5、 3：2：1D. 若M为ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，则cosAMB= 66三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.复数3+4i与52i分别表示向量OA与OB，则向量AB表示的复数是_13.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA+bsinC=bsinB+csinC.若b=2，c=4，则ABC的面积为_14.在三棱锥ABCD中，ABD=ABC=60，BC=BD=3 2，AB=6 2，则三棱锥ABCD外接球的表面积为_四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1
6、B1C1D1中，截去三棱锥A1ABD (1)求截去的三棱锥A1ABD的体积；(2)求剩余的几何体A1B1C1D1DBC的表面积16.(本小题15分)已知向量a=(1, 3)，b=(2,0)(1)求ab的坐标以及ab与a之间的夹角；(2)当t1,1时，求|atb|的取值范围17.(本小题15分)某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域(阴影部分)上A，B两点之间建一条观光通道，如图所示.在湖面所在的平面(不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面)内距离点B50米的点C处建一凉亭，距离点B70米的点D处再建一凉亭，测得ACB=ACD，cosACB= 105(1)求sinBDC的值；
7、(2)测得AC=AD，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？18.(本小题17分)定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”.如图，已知锐角三角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，若acosBcosA+b=2c(1)求角A的大小；(2)分别以ABC各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和ABC构成平面区域D，求平面区域D的“直径”的取值范围19.(本小题17分)如图，在ABC中，ABC为钝角，AB=2 2，BC=2 63，sinCAB=13.过点B作AB的垂线，交AC于点D，E为BD延长线
8、上一点，连接AE，CE，若EA=3CE(1)求边AC的长；(2)证明：AEB=CEB；(3)设EAB=，ECB=，是否存在实数，使得sinsin+sin2+cos2=1恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由答案和解析1.【答案】C【解析】解：(1i)(2+i)=2+i2ii2=3i故选：C利用复数的运算性质化简即可求解本题考查了复数的运算性质，属于基础题2.【答案】A【解析】解：向量a=(1,x)，b=(1,3)，2a+b=2(1,x)+(1,3)=(1,2x+3)2a+b与向量b平行，3=2x3，解得x=3，故选：A先求出2a+b，然后利用向量的平行列出方程求解x即可本题考查向量的共
9、线以及坐标运算，基本知识的考查3.【答案】C【解析】解：根据题意，原图为边长为6的正方形，其面积S=66=36，则其直观图的面积S= 24S=9 2故选：C根据题意，求出原图的面积，由直观图面积与原图面积的关系，分析可得答案本题考查平面图形的直观图，注意直观图面积与原图面积的关系，属于基础题4.【答案】B【解析】解：若|a|=2，|b|=1，且a(a4b)，设向量a，b的夹角为，0,180，则a(a4b)=a24ab=4421cos=0，求得cos=12，=60，故选：B由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得向量a，b的夹角本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的
10、定义，属于基础题5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了余弦定理的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题先根据余弦定理求出AB，再代入余弦定理求出结论【解答】解：在ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，由余弦定理可得AB2=AC2+BC22ACBCcosC=42+3224323=9，故AB=3，cosB=AB2+BC2AC22ABBC=32+3242233=19故选A6.【答案】B【解析】解：如图，过A1作A1EAC，垂足为E，则A1E平面ABCD，过E作EFAB，垂足为F，连接EF，则EF为A1F在底面上的射影，可得A1FAB在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，AB=
11、2A1B1=4，AE= 2，则AF=1，A1AB=60，A1A=2，则A1E= 2VABCDA1B1C1D1=13 2(4+16+ 416)=28 23故选：B由已知求出棱台的高，再由棱台体积公式求解本题考查棱台体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题时应根据向量的加法与减法运算将向量进行分解，是基础题根据平面向量的基本定理，结合向量加法与减法的三角形法则，进行化简运算即可【解答】解：AP=AB+BP，BP=13BD=13(ADAB)=13AD13AB=1323AC13AB=29AC13AB，AP
12、=AB+(29AC13AB)=23AB+29AC；又AP=AB+AC，=23，=29；=2392=3故选：B8.【答案】D【解析】解：由题意，以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示AB=AC=5，BC=6，D为AC中点，C(3,0)，A(0,4)，D(32,2)，又点M在BC边上运动，可设M(t,0)，其中t3,3，MD=(32t,2)，MC=(3t,0)，故MDMC=(32t)(3t)=t292t+92=(t94)2916，t3,3，当t=94时，上式有最小值916故选：D根据图形特点，建立直角坐标系，由题设数量关系得出A，C，D的坐标，再设出点M的坐标，将
13、所求问题转化为函数的最小值问题即可本题考查了用坐标法解决有关平面向量的计算问题，属简单题9.【答案】ACD【解析】解：对于A：如图：若直线a面，直线b面，a与b可以相交，故A错误；对于B：若直线l/面，则l与面没有公共点，所以直线l与面内的直线平行或异面，故B正确；对于C：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，故C错误对于D：由棱台的定义得：棱台侧棱延长后交于一点，有两个面互相平行，其余各面都是梯形几何体的侧棱延长后不一定交于一点，故D错误故选：ACD对于A，画出图形即可判断；对于B，根据直线l/面，l与面没有公共点即可判
14、断；对于C，利用棱柱的定义判断即可；对于D，由棱台的定义判断即可本题考查异面直线的判定，平面的基本性质，棱台的结构特征，棱柱的概念，属于基础题10.【答案】CD【解析】解：A中，由ab，可得A150，显然这样的三角形不存在，所以A不正确；B中，由正弦定理可得ab=sinAsinB，而acosB=bcosA，即ab=cosBcosA，所以sinAsinB=cosBcosA，即sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A+2B=，即A=B或A+B=2，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，所以B不正确；C中，ABC为锐角三角形，可得A+B2，即2A2B0，所以sinAsin(2B)=cosB，即sinAcosB，所以C正确；D中，因为sinA：sinB：sinC=2：3：4，可得a：b：c=2：3：4，
