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1、基于MATLAB的离散信号频域分析、快速傅里叶变换与采样定理一、 离散信号频域分析（一） 周期离散方波信号频域分析与周期模拟信号一样，周期离散信号同样可以展开成傅里叶级数形式，并得到离散傅里叶级数（DFS）上式可以看成周期离散信号x(n)的离散傅里叶级数展开。上式是DFS的反变换，记作IDFS并且称与构成一对离散傅里叶级数变换对。（以上两式中）在MTALAB中，DFS通过建立周期延拓函数语句实现：function Xk=DFS(n,x,N)if Nlength(x) n=0:N-1; x=x zeros(1,N-length(x);endk=0:N-1;WN=exp(-j*2*pi/N);nk
2、=n*k;WNnk=WN.nk;Xk=x*WNnk;end建立一个离散非周期方波信号通过周期延拓后所得的周期序列利用DFS计算实现代码如下：clear all;close all;clc;n=0:3;x=ones(1,4);X=fft(x,1024);Xk1=DFS(n,x,4);Xk2=DFS(n,x,8);figure(1);plot(-1023:2048)/2048*8,abs(X) abs(X) abs(X),-);hold on;stem(-4:7,abs(Xk1) abs(Xk1) abs(Xk1),LineWidth,2);grid;figure(2);plot(-1023:20
3、48)/2048*16,abs(X) abs(X) abs(X),-);hold on;stem(-8:15,abs(Xk2) abs(Xk2) abs(Xk2),LineWidth,2);grid;set(gcf,color,w);运行后得到的是分别以4和8为周期延拓后的频谱：即第一幅图表示的是周期序列 的频谱，第二幅图表示的是周期序列的频谱。两图中的包络线表示的是通过快速傅里叶变换（FFT）所得到的频谱线。（二）非周期离散方波信号频域分析对于非周期离散方波信号，可采用离散时间傅里叶变换DTFT进行分析。上式为离散时间信号x(n)的离散时间傅里叶变换（DTFT）。上式为的离散时间傅里叶反变换
4、（IDTFT）。由于：所以序列x(n)绝对可和，意味着DTFT存在，而非稳定序列（比如周期序列）不满足绝对可和条件，所以其DTFT不存在。在MTALAB中，DTFT可以用以下语句实现：w=-3*pi:0.01:3*pi;K=length(w);X=x*exp(-j*n*w*K);建立一个离散非周期方波信号的离散傅里叶变换利用DTFT计算实现代码如下：clear all;close all;clc;n=0:7;x=ones(1,8);w=-3*pi:0.01:3*pi;X=x*exp(-j*n*w);figure(1);plot(w/pi,abs(X);grid;figure(2);plot(w
5、/pi,angle(X);grid;set(gcf,color,w);运行后分别得到该离散非周期方波信号的幅频特性与相频特性：幅频特性相频特性（三） 两种变换DFS的DTFT的性质DFS主要具有如下性质：1. 线性性质2. 周期卷积性质3. 复共轭4. 帕斯瓦尔定理DTFT同连续时间信号傅里叶变换相似，具有如下性质：1. 线性性质2. 时域频域平移性质3. 时间翻转性质4. 共轭对称性质5. 时域频域卷积性质6. 调制性质7. 频域微分性质8. 帕斯瓦尔定理从DTFT的推导过程，说明DTFT是DFS当的极限情况。共同点：在时域都是离散的，在频域都是以为周期，周而复始。不同点：离散时间周期信号频
6、谱是离散的，具有谐波性，是谐波复振幅，适用于计算机计算。而离散时间非周期信号的频谱则是连续的，不具有谐波性， 表示的是谐波密度，是连续变量的函数，所以不便于计算机进行分析计算。（四） 离散傅里叶变换（DFT）由于DTFT不便于计算机进行计算，所以需要建立一种时域和频域都是离散的傅里叶变换对，这就是离散傅里叶变换（DFT）上式为离散时间非周期信号的离散傅里叶变换（DFT）上式为DFT的反变换，记作IDFT。和称为离散傅里叶变换（DFT）对。在MTALAB中，DFT通过建立函数实现：function Xk=DFT(n,x,N)if Nlength(x) n=0:N-1; x=x zeros(1,N
7、-length(x);endk=0:N-1;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n*k;WNnk=WN.nk;Xk=x*WNnk;End建立一个离散非周期方波信号的离散傅里叶变换利用DFT计算实现代码如下：clear all;close all;clc;n=0:7;x=ones(1,8);X=fft(x,1024);Xk2=DFT(n,x,16);figure(1);plot(-1023:2048)/2048*32,abs(X) abs(X) abs(X),-);hold on;stem(-16:31,abs(Xk2) abs(Xk2) abs(Xk2),LineWidth,2);gri
8、d;figure(2);plot(-1023:2048)/2048*32,angle(X) angle(X) angle(X),-);hold on;stem(-16:31,angle(Xk2) angle(Xk2) angle(Xk2),LineWidth,2);grid;set(gcf,color,w);运行后分别得到该离散非周期方波信号的幅频特性与相频特性：幅频特性相频特性两图中的包络线表示的是通过快速傅里叶变换（FFT）所得到的频谱线。离散傅里叶变换是傅里叶变换在时域、频域均离散化的形式，因而与其他傅里叶变换有着相似的性质。但是它又是从傅里叶级数派生而来的，所以又具有一些与其他傅里叶变
9、换不同的特性，最主要的是圆周位移性质和圆周卷积性质。二、 快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换，简称FFT，是计算DFT的快速算法，习惯上是指以库利和图基算法为基础的一类高效算法。根据快速傅里叶变换基本思路以及基2FFT算法，在MTALAB中，FFT通过建立函数实现：function y=fft(x)m=nextpow2(x); N=2m;if length(x)Nx=x,zeros(1,N-length(x); endnxd=bin2dec(fliplr(dec2bin(1:N-1,m)+1;y=x(nxd); for mm=1:m Nmr=2mm; u=1;WN=exp(-i*2*pi/
10、Nmr); for j=1:Nmr/2 for k=j:Nmr:N kp=k+Nmr/2; t=y(kp)*u; y(kp)=y(k)-t; y(k)=y(k)+t; end u=u*WN; end end建立一个离散非周期方波信号的快速傅里叶变换利用FFT计算实现代码如下：clear all;close all;clc;x=ones(1,8);fx=fft(x,512);z=abs(fx);k=0:length(z)-1;plot(k,z);运行后得到该离散非周期方波信号的幅频特性：分别利用FFT和DFT进行相同运算：clear all;close all;clc;K=input(K=);N
11、=2K;n=0:N-1;x=randn(1,2K);tic,X=fft(x,N),toctic,X=DFT(n,x,N),toc运行结果如下： Columns 1 through 4069Elapsed time is 0.218536 seconds. Columns 1 through 4069Elapsed time is 16.726921 seconds.由此可见，采用DFT计算时间为16.726921秒，而采用FFT计算只需要0.218536秒；说明，FFT在计算速度上，明显优于其他算法。三、采样定理（一）时域采样定理为了验证时域采样定理，可以把原始采样序列每隔D-1点取一个值，形
12、成一个新的序列。在MATLAB中，通过以下程序实现：clear all;close all;clc;x=ones(1,8);D=2;xd=x(1:D:length(x);fx=fft(x,512);fxd=fft(xd,512);z=abs(fx);s=abs(fxd);k=0:length(z)-1;plot(k,s,k,z);D=2时得到的原始序列与采样序列的幅频特性（蓝色为原始序列，绿色为采样序列）。D=3时得到的原始序列与采样序列的幅频特性（蓝色为原始序列，绿色为采样序列）。 D=4时得到的原始序列与采样序列的幅频特性（蓝色为原始序列，绿色为采样序列）。D=0.5时得到的原始序列与采样
13、序列的幅频特性（蓝色为原始序列，绿色为采样序列）。由此可见，采样周期在D大于2的范围内，出现明显的混叠现象，有失真产生，而在小于1的范围内，采样过于密集，增加运算系统负担。因此，可验证时域采样定理。（二）频域采样定理为了验证频域采样定理，可以把原始采样序列每隔D-1点取一个值，形成一个新的序列。在MATLAB中，通过以下程序实现：clear all;close all;clc;x=-10:0.001:10;y=(sin(x)/x;X=fft(y,20);D=7;Xd=X(1:D:length(X);fxd=ifft(Xd,20);s=fxd;k=0:length(s)-1;plot(k,s); D=7时根据频域样本集合恢复的原信号D=3时根据频域样本集合恢复的原信号D=10时根据频域样本集合恢复的原信号由此可见，采样周期在D小于7的范围内，根据频域样本恢复的原信号与实际原信号有很大差别。因此，可验证频域采样定理。
