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1、1、排列组合初步(1)排列组合公式pm=(m _n)!cm 匚 n!(m _n)!随机事件和概率第一节基本概念从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。(2)加法原理(两种方法均能完成此事)： 某件事由两种方法来完成， 第一种方法可由 来完成，则这件事可由 m+n种方法来完成。m+nm种方法完成，第二种方法可由n种方法(3)乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事) 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由:m3 nm种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由 m3 n种方法来完成。(4) 一些常见排列 特殊排列相邻彼此隔开顺序一定和不可分辨 重复排列和
2、非重复排列(有序) 对立事件 顺序问题2、随机试验、随机事件及其运算(1) 随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行， 而每次试验的可能结果不止一个， 但在进 行一次试验之前却不能断言它岀现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。(2) 事件的关系与运算 关系：如果事件A的组成部分也是事件 B的组成部分，(A发生必有事件B发生)：A二B 如果同时有A二B，B二A，则称事件A与事件B等价，或称A等于B: A=B A B中至少有一个发生的事件： A B，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为 A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者A B，它
3、表示A发生而B不发生的事件。A B同时发生：/O B或者AB B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。- -A称为事件A的逆事件，或称 A的对立事件，记为 A。它表示A不发生的事 件。互斥未必对立。 运算：结合率：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(AU C) n (B U C) (A U B) n C=(AC) U (BC) A =U Ai _ _ _德摩根率：心心A，A B=aB3、概率的定义和性质(1)概率的公理化定义设11为样本空间，A为事件，对每一个事件 A都有一个实数
4、P(A)，若满足下 列三个条件：P(Bi /A)二，i=1，2，,1 0 WP(A)0，则称P(AB)为事件A发生条件下，事件BP(A)发生的条件概率，记为 P(B / A)二P(AB)。P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P( Q /B)=1 = P(B /A)=1-P(B/A)乘法公式：P(AB) = P(A)P(B/A)更一般地，对事件 A，A，, A，若P(AA, A-1)0，则有P(A1A2, An) = P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2),P(An| A1A2,An -1)。(4) 全概公式设事件Bh bn , Bn满足1 B1, B
5、Q , Bn两两互不相容，P(Bi) A 0(j = 1,2,n)，nABi2i=1 ，则有P(A)二 P(B1)P(A| B1) P(B2)P(A| B2)P(Bn)P(A| Bn)。此公式即为全概率公式。(5) 贝叶斯公式设事件B1，B2，,，Bn及A满足1 B1，B2，,， Bn两两互不相容， P(Bi) 0， i 二 1， 2， nA Bi2im P( A) A 0则P(Bi)P(A/BJn、P(Bj)P(A/Bj)j wP(B | A)二P(AB)P(A)P(A)P(B)P(A)二 P(B)if3此公式即为贝叶斯公式。P(Bj ,( i =1 , 2 , , n),通常叫先验概率。P
6、(Bj / A) , (i =1 , 2 , n),通常称为后验概率。如果我们把 A当作观察的“结果”，而Bi, B2 , , Bn 理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因” 的推断。5、事件的独立性和伯努利试验(i) 两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB) = P(A)P(B)，则称事件a、B是相互独立的 (这个性质不是想当然成立的)。若事件A、B相互独立，且P(A) 0，则有所以这与我们所理解的独立性是一致的若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。 (证明)由定义，我们可知必然事件门和不可能事件？与任何事件都相互独立。(证明)
7、 同时，？与任何事件都互斥。(2) 多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ； P(BC)=P(B)P(C) ； P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A B、C相互独立。对于n个事件类似。两两互斥T互相互斥。两两独立T互相独立？(3) 伯努利试验定义我们作了 n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生;n次试验是重复进行的，即 A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验 A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每
8、次试验A发生的概率，则A发生的概率为1 一 P = q，用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k( _ k _ n)次的概率,k k n _kPn(k) =Cn p q , k = 0,1,2，,n。随机变量及其分布第一节基本概念在许多试验中，观察的对象常常是一个随同取值的量。例如掷一颗骰子岀现的点数， 它本身就是一个数值，因此P(A)这个函数可以看作是普通函数(定义域和值域都是数字，数字到数字)。但是观察硬币岀现正面还是反面，就不能简单理解为普通函数。但我们可以通过下面的方法使它与数值联系起来。当岀现正面时，规定其对应数为“1”；而出现反面时，规定其对应数为“ 0”。于是x=x)=J，当正面
9、出现当反面出现称X为随机变量。又由于X是随着试验结果(基本事件不同而变化的，所以X 实际上是基本事件 的函数，即X=X(3 )。同时事件A包含了一定量的3 (例如古典 概型中A包含了 3 1, 3 2,3 m,共m个基本事件)，于是P(A)可以由P(X( 3 )来计算，这是一个普通函数。定义 设试验的样本空间为 门，如果对i I中每个事件 都有唯一的实数值 X=X(3 ) 与之对应，则称X=X(3 )为随机变量，简记为 X。有了随机变量，就可以通过它来描述随机试验中的各种事件，能全面反映试验的情况。这就使得我们对随机现象的研究，从前一章事件与事件的概率的研究，扩大到对随机变量的研究，这样数学分
10、析的方法也可用来研究随机现象了。一个随机变量所可能取到的值只有有限个(如掷骰子岀现的点数) 或可列无穷多个(如电话交换台接到的呼唤次数)，则称为离散型随机变量。像弹着点到目标的距 离这样的随机变量，它的取值连续地充满了一个区间，这称为连续型随机变量。1、随机变量的分布函数(1) 离散型随机变量的分布率设离散型随机变量 X的可能取值为X(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件 (X=XJ的概率为p(X=xk)=pk， k=1,2,，则称上式为离散型随机变量 X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给岀：X XXX2，xk,P(X =Xk) p1, P2, Pk,。显然分布律应满足下列条件：(1
11、) Pk -0, k =1,2,，Q0二：Pk =1(2) kd。(2 )分布函数对于非离散型随机变量，通常有P(X =x) =0，不可能用分布率表达。例如日光灯管的寿命 X，P(X =xo) =0。所以我们考虑用 X落在某个区间(a,b内 的概率表示。定义 设X为随机变量，x是任意实数，则函数F(x) =P(X - x)称为随机变量X的分布函数。P(a ： X乞b) = F (b) - F(a)可以得到X落入区间(a,b的概率。也就 是说，分布函数完整地描述了随机变量X随机取值的统计规律性。分布函数F(x)是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间(-x内的概率。F(x)的图形是阶梯图形， 花
12、公2， 是第一类间断点，随机变量X在xk处的 概率就是F(x)在兀处的跃度。分布函数具有如下性质：1 0 _ F (x) _ 1,- ： ： x ：;2F (x)是单调不减的函数，即X1 ： X2时，有F(X1) _ F(X2)；F(-：) lim F(x)=0， F( ；) lim F(x)=1;4 F (x 0 F (x)，即F(x)是右连续的;5 p(x =x) = F(x)- F(x-0)。(3) 连续型随机变量的密度函数定义 设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任意实数X，有XF(x)二 _.f(x)dx则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密
13、度函数，简称概率密度。f（X）的图形是一条曲线，称为密度（分布）曲线由上式可知，连续型随机变量的分布函数F（x）是连续函数。所以，P（Xi _ X - x2） = P（Xi ： X _ x2） = P（Xi _ X : x2） = P（Xi ： Xx2）对于连续型随机变量 X，虽然有P（x = x）= 0，但事件（X = x）并非是不可能 事件？。x+h二円必尸材税P（xXMx + h）= Jf（x）dxX#密度函数具有下面4个性质:f(x) 一0(x)dx=1boF （ ： ：） = f （x）dx =1的几何意义；在横轴上面、密度曲线下面的全部面积 等于1。如果一个函数f（X）满足1 2则它一定是某个随机变量的密度函数。X23 P(x： X - x2) = F(x2)F(x1) =
