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1、2022年专接本-高等数学考试内容及全真模拟冲刺卷（附带答案与详解）1. 判断题微分方程dy-2xdx=0的通解为y=x2.（ ）问题1选项A.对B.错【答案】B【解析】【考点】本题考查常微分方程-一阶微分方程与可降阶的高阶微分方程-一阶微分方程-可分离变量的微分方程【解题思路】由dy-2xdx=0dy=2xdxy=x2+C.故本题选B.【点拨】微分方程的解：代入微分方程后能使方程成为恒等式的函数y=f(x).特解：不含任意常数的解.微分方程的通解：解中所含任意常数相互独立，且阶数与方程阶数相同.2. 单选题设f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间（0，1）内可导，且f(0)=f(1)，则在（
2、0，1）内曲线y=f(x)的所有切线中（ ）问题1选项A.至少有一条平行于x轴B.至少有一条平行于y轴C.没有一条平行于x轴D.可能有一条平行于y轴【答案】A【解析】【考点】本题考查一元微分学及其应用-微分中值定理及洛必达法则-微分中值定理【解题思路】本题主要是运用罗尔定理.因为f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间（0，1）内可导，所以由罗尔定理可得至少存在一点（0，1），使得f ()=0，即至少有一点处的切线的斜率为0，也就是平行于x轴.故本题选A.3. 问答题某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别是x、y（千件），甲厂的月生产成本是C1=x2-2x+5（千元），乙厂的月生产成本是C
3、2=y2+2y+3（千元）.若要求该产品每月总产量为8千件，并使总体成本最小，求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本.【答案】解：总成本L(x)=x2-2x+5+(8-x)2+2(8-x)+3=2x2-20x+88,L (x)=4x-20,L (x)=4，令L (x)=0，即4x-20=0x=5，故x=5为L(x)的唯一极小值点，又由实际问题必有最小值知L(x)在x=5取最小值L(5)=252-205+88=38,y=8-x=8-5=3。故甲工厂最优产量为5千元，乙工厂最优产量为3千元，最小成本为38000元。【解析】【解题思路】本题考查一元函数微分学及其应用-导数的应用-函数的单调性与极值
4、。4. 单选题设函数y=f(x)在(-,+)内连续，其二阶导数f （x）的图形如图所示，则曲线y=f(x)的拐点的个数为（ ）问题1选项A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】【考点】本题考查一元微分学及其应用-导数的应用-曲线的凹凸性与拐点【解题思路】对于函数f(x)的定义域内的任何一点x0，若在该点的两端f （x）符号发生变化，则该点即为拐点.图中f (x)=0的三点处满足拐点的条件，此外还有原点处也满足拐点的条件，因此共有4个拐点.故本题选D.5. 判断题xyy+xy3-x4y=0的阶数是3.（ ）问题1选项A.对B.错【答案】B【解析】【考点】本题考查常微分方程-微分方程的基
5、本概念-微分方程的阶【解题思路】微分方程xyy+xy3-x4y=0的未知函数的最高阶导数为y，所以该微分方程的阶数为2.故本题选B.【点拨】微分方程的阶：方程中未知函数的最高阶导数的阶数n叫作该微分方程的阶，同时该方程叫作n阶微分方程.6. 填空题若f(x+1)=2x+3，则f(f(x)-3)=（ ）【答案】【答案】4x-3【解析】【考点】本题考查函数、极限与连续-函数-函数的四则运算与复合运算【解题思路】本题要根据复合运算求出f(x)的表达式.因为f(x+1)=2x+3=2x+2+1=2(x+1)+1，所以f(x)=2x+1，因此f(f(x)-3)=f(2x-2)=4x-3.7. 单选题微分
6、方程y+y-2y=xe-x的特解用待定系数法可设为（ ）问题1选项A.y*=x(ax+b) e-xB.y*=x2(ax+b) e-xC.y*=(ax+b) e-xD.y*=axe-x【答案】C【解析】【解题思路】本题考查常微分方程-二阶常系数线性微分方程-二阶常系数线性非齐次微分方程的解法-f(x)=Pm(x) ex型。该方程所对应齐次方程特征方程为r2+r-2=0，其解为r1=1,r2=-2，因为-1不是特征根，故其特解可设为y*=(ax+b) e-x。故本题选C。8. 填空题曲线y=x3-3x2+2x-1的拐点为（ ）。【答案】【答案】(1,-1)【解析】【解题思路】本题考查一元函数微分学
7、及其应用-导数的应用-曲线的凹凸性与拐点。y=3x2-6x+2,y=6x-6,令y=06x-6=0x=1,y=13-312+21-1=-1，故其拐点为(1,-1)。9. 单选题微分方程sinx cosy dy+cosx siny dx=0的通解为（ ）问题1选项A.sinx cosy=CB.cosx siny=CC.sinx siny=CD.cosx cosy=C【答案】C【解析】【解题思路】本题考查多元函数微分学-偏导数与全微分-全微分。由sinx cosy dy+cosx siny dx=0d sinx siny=0sinx siny=C。故本题选C。10. 单选题已知收敛，则（ ）问题1
8、选项A.B.C.D.【答案】C【解析】【考点】本题考查无穷级数-常数项级数的概念与性质-常数项级数的性质【解题思路】收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原级数的和.如果加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数也收敛.例如，级数(1-1)+(1-1)+(1-1)+收敛于零，但级数1-1+1-1+却是发散的.故本题选C.11. 判断题使f (x)=0的点称为函数的驻点.（ ）问题1选项A.对B.错【答案】A【解析】【考点】本题考查一元函数微分学及其应用-导数的应用-函数的单调性与极值-函数极值的判定定理【解题思路】由驻点的定义知该结论正确.故本题选A.【点拨】如果x0是函数f(x)的极值
9、点，则f (x0)=0或者f (x0)不存在推论 如果函数f(x)在点x0处可导，且在x0处取得极值，则f (x0)=0.驻点定义：如果f (x0)=0，则称x0为函数f(x)的驻点.12. 单选题已知 f(x) dx=3xx3+C，则f(x)=（ ）问题1选项A.3xx2(x ln3+3)B.3xx3ln3C.3xx2ln3D.3x23x【答案】A【解析】【考点】本题考查一元函数积分学及其应用-不定积分-不定积分的概念及其性质-不定积分的定义【解题思路】因为 f(x) dx=3xx3+C，由不定积分的定义知f(x)=(3xx3)=3xx3ln3+3x23x=3xx2(x ln3+3).故本题
10、选A.【点拨】设f(x)是定义在区间I上的函数，如果存在可导函数F(x)，使得F (x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，xI，则称函数F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数.13. 单选题若函数f(x)在(a，b)内连续并且二阶可导，且f (x)0，f (x)问题1选项A.单调增加且是上凹的B.单调减少且是上凹的C.单调增加且是上凸的D.单调减少且是上凸的【答案】C【解析】【考点】本题考查一元函数微分学及其应用-导数的应用-曲线的凹凸性与拐点【解题思路】因为函数f(x)在(a，b)内满足f (x)0，所以函数f(x)在(a，b)内单调增加，又f (x)0，则函数在a，b内单调增加;如果
11、在(a，b)内f (x)0,曲线是凹的，反之曲线是凸的）.函数y=2x3+x+1定义域为R，y=6x2+1，y=12x，令y=0，解得x=0，当x0时，y0，当x3+x+1的拐点为（0,1）.故本题选D.15. 单选题已知f(x)的定义域为1,e，则f(ex)的定义域为（ ）问题1选项A.(0,1B.0,1C.(0,1）D.0,1)【答案】B【解析】【考点】本题考查函数、极限与连续-函数-函数的概念【解题思路】涉及了复合函数的定义域.因为f(x)的定义域为1,e，所以1exe，解得0x1，所以f(ex)的定义域为0,1.故本题选B.16. 单选题不定积分 f(x) dx的几何意义是（ ）问题1
12、选项A.一条积分曲线B.曲线上一点的切线C.曲边梯形的面积D.积分曲线的族【答案】D【解析】【考点】本题考查一元函数积分学及其应用-不定积分-不定积分的概念及其性质-不定积分的几何意义【解题思路】 f(x) dx表示所有在x点处切线斜率为f(x)的曲线，所以其几何意义是积分曲线的族.故本题选D.【点拨】设f(x)是定义在区间I上的函数，如果存在可导函数F(x)，使得F (x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，xI，则称函数F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数.17. 单选题方程3x-2sinx=0（-问题1选项A.0B.1C.2D.无数个【答案】B【解析】【考点】本题考查一元微分学及其应用-导数的应用-函数的单调性于极值【解题思路】设f(x)=3x-2sinx，则f (x)=3-2cosx，因为-1cosx1，所以13-2cosx5，因此f (x)0，则f(x)在（-,+）内是单调递增的，又因为f(0)=0，所以函数f(x)在其定义域上只有一个零点，即方程3x-2sinx=0（-x+）只有一个实根.故本题选B.18. 单选题已知y=xex，则dy=（ ）问题1选项A.xexdxB.exdxC.（1+x）exdxD.（ex+x）dx【答案】C【解析】【考点】本题考查一元函数微分学及其应用-函数的微分
