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1、知识改变命运，学习成就未来3.3.1函数的单调性与导数2007年广东省文科状元严俏华【成功细节】严俏华谈导数的计算的方法（2007年广东 文12）函数的单调递增区间是本节主要是用函数的导数研究函数的单调性，学习过程中要深刻理解相关的结论以及方法，要学好本节内容，我认为应注意以下几个细节入手：（1）函数在某点处的单调性与该点处的切线的斜率（即函数在该点处的导数值）的符号相关；若导数值大于零，则函数在此处为增函数；（2）若函数在某个闭区间上的导数值恒为零，则该函数为常数函数；（3）在求函数的单调区间时，可直接解关于导数的不等式；（4）深刻理解函数的单调性与函数的导数之间的关系，包括连个方面：导数的
2、符号说明函数的单调性，某区间内，导数值为正，则函数为增函数；导数绝对值得大小反映了函数图象的变化速度，绝对值越大，函数图象越陡峭。如这个题主要考查导数的基本运算以及应用导数解决函数的单调性，是一个简单题，可直接求解即可.，令可解得，所以函数的单调递增区间是.【高效预习】（核心栏目）【精读细化】1.用10分钟的时间阅读教材8991页,函数的单调性与导函数正负之间有怎样关系？某个区间内函数的平均变化率的几何意义与导数之间的联系呢？如果在某个区间恒有=0，那么函数有什么特征？细节提示:把握住单调性定义中y的变化量与x的变化量的比值与导数的定义之间的关系。“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”
3、。叶圣陶【提升解决】1.在某个开区间内，导数值大于零，则函数在这个区间内单调递增，导数值小于零，则函数在这个区间内单调递减；若函数在某个区间内恒有导数值等于零，则函数为常数函数.【提炼发现】2.函数导数的绝对值较大，则函数在这个范围内变化得快，函数的图象就比较“陡峭”，反之就“平缓”一些.【关注思考】2.阅读课本9293页，理解函数变化的快慢程度与函数导数值的绝对值的大小之间的关系.细节提示:函数图象，不仅体现函数的增减，还可以体现函数值变化的快慢.【学习细节】（核心栏目）A基础知识导数的应用知识点1 函数的单调性与导数之间的关系【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时
4、，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系吗?【思考】 如图（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？【引导】 随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？【探究】通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度随
5、时间的增加而增加，即是增函数相应地，（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数相应地，【思考】 导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间的关系.【探究】函数的单调性可简单的认为是:若 0则函数f(x)为增函数.可把看作=.说明函数的变化率可以反映函数的单调性.即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系.观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系（1）函数的定义域为，并且在定义域上是增函数，其导数；（2）函数的定义域为，在上单调递减，在
6、上单调递增；而，当时，；当时，；当时，。（3）函数的定义域为，在定义域上为增函数；而，若，则，当时，；（4）函数的定义域为，在上单调递减，在上单调递减；而，因为，显然.【总结】以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间内，如果函数在这个区间内单调递增，那么；如果函数在这个区间内单调递减，那么【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？【探究】如图，导数表示函数在点处的切线的斜率在处，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；在处，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减用曲线的切线的斜率来理解.当切线斜率非负时,切线的倾斜角小于,函数曲线呈向上增加
7、状态; 当切线斜率负时,切线的倾斜角大于、小于，函数曲线呈向下减小状态.知识归纳函数的单调性与导数的关系:在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减说明：特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数注意：1.若在某区间上有有限个点使，在其余的点恒有，则仍为增函数，（减函数的情形完全类似）.即是说在区间内是在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件.2.能推出为增函数，但反之不一定如函数在上单调递增，但所以是为增函数的充分条件，但不是必要条件3.为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或，当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性所以是为
8、增函数的必要条件，但不是充分条件4.为增函数的充要条件是对任意的都有且在内的任一非空子区间上【例题1】已知导函数的下列信息：当时，；当，或时，；当，或时，试画出函数图像的大致形状【解析】 利用导数和函数单调性之间的关系分析函数在每个区间上的单调性，然后画出简图.【答案】 当时，可知在此区间内单调递增；当，或时，；可知在此区间内单调递减；当，或时，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”综上，函数图像的大致形状如图所示知识点2 用函数的导数研究函数的单调性求解函数单调区间的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；思维技巧对于可导函数来说, 是函数在
9、(a,b)上为单调增函数的充分不必要条件, 是函数在(a,b)上为单调减函数的充分不必要条件,如函数在R上为增函数,但,所以在处不满足.（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间【例题2】判断下列函数的单调性，并求出单调区间（1）； （2）；（3）； （4）.【解析】先求出导数，然后求解不等式进行判断、求解，使的区间为增区间，使的区间为减区间。【答案】（1）因为，所以，因此，在R上单调递增，如图所示（2）因为，所以， 当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；函数的图像如图所示（3）因为，所以，因此，函数在单调递减，如图所示（4）因为，所以当，即或时，函数单调递增；当，即时，函数单调递
10、减；思维技巧利用导数判断函数单调性及单调区间应注意的问题：（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间.（2）在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还有注意在定义域内不连续点和不可导点.（3）注意在某一区间内（或）是函数在该区间上为增（减）函数的充分条件，如是R上的可导函数，也是R上的单调增函数，但当时，.（4）如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间中间不能用“”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开.函数的图像如图所示知识点3 函数的导数与函数的增减速度 函数的导数
11、对函数的单调性有影响的同时，还对函数增减的速度有影响。递增函数就是函数值随自变量的增大而增大，一个函数的增长速度快，就是说，在自变量的变化相同时，函数值的增长大，即平均变化率大，导数也就大；递减函数就是函数值随自变量的增大而减小，一个函数减小的快，那么在自变量的变化相同时，函数值的减小大，即平均变化率大，导数的绝对值也就大，从而导数的绝对值越大，函数增减的速度就越快一般地,如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大,说明函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之,函数的图象就较“平缓”.【例题3】如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积
12、相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像【解析】以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快反映在图像上，（A）符合上述变化情况同理可知其它三种容器的情况【答案】 B综合拓展例1 求函数的单调增区间.解析： 先求，若，则单调递增.答案： 令，即解得 或的单调地增区间为，.总结：求函数单调区间的步骤和方法：（1）确定函数的定义域；（2）求导数，令，解此方程，求出它的定义域内的一切实数根；（3）把函数的间断点（即包括的无定义点）的横坐标和上面的各实根按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间
13、；（4）确定在各个小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.易错点：单调区间只能用和、或连接，不能使用并集符号.例2求证：函数在区间内是减函数解析 先求出函数的导数，然后判断导数在此区间上的符号即可.答案：因为当即时，所以函数在区间内是减函数例3证明在上是减函数.解析：可采用定义和求导法两种方法来解题，体会求导法在解决函数单调性问题上的优越性.答案：方法一 任取两个数，设，则，且，在上是减函数.方法二：，且在上是减函数.解题规律：比较一下两种方法，用求导法证明更简便一些.如果是更为复杂的一些函数，用导数的符号判断函数的单调性更能显示出它的优越性.例4已知函数，试讨论出此函数
14、的单调区间.解析:先求出函数的导数，然后利用导数不等式求解单调区间.答案 =11x2=令0. 解得x1或x1.y=x+的单调增区间是(，1)和(1，+).令0，解得1x0或0x1.y=x+的单调减区间是(1，0)和(0，1)例5已知函数，.若在上是增函数，求实数的取值范围.解析答案： 由已知得，在上单调递增，即在上恒成立.而在上是单调递增，当时，对也有.时，在上是增函数综合上述，在上是增函数, 的取值范围为.解题技巧 （1）本题知道了函数的单调性，而去求参数的范围，这是一种非常重要的题型.在某个区间上，（或），在这个区间上单调递增（递减）；但由在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到（或）是不够的，即还有可能也能使得在这个区间上单调，因而对于能否取到等号的问题需要单独验证.（2）本题用到一个非常重要的转化，即恒成立；恒成立.例6 设是上的偶函数，在区间上且有，求实数的取值范围.解析：偶函数在对称区间上有相反的单调性，奇函数有相同的单调性，我们可利用单调性转化需考虑范围问题.答案 在上,在上为增函数，又是偶函数在上为减函数，且原不等式可化为而，恒成立，解得.例7 若函数在区间上为减函数，在区间上为减函数，试求实数的取值范围.答案 函数的导数.令，解得或当即时，函数在上为增函数，不合题意；当，即
