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1、第 21 讲 数论试题选讲在数学竞赛中，初等数论的问题是考查的热点内容之一它所涉及的范围主要有数的进位制、数的整除性、同余理论与不定方程主要的定理有费马小定理和中国剩余定理反证法是解数论问题常用的解题方法以下请大家了解近年一些有关数论的竞赛试题和其解法。A类例题例1 设p是给定的奇质数，正整数k使得 也是一个正整数，求正整数k。（2004年全国高中数学竞赛）例2 求所有的整数n，使得n4+6n3+11n2+3n+31是完全平方数（2004年中国西部数学奥林匹克）例3 在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，若相邻若干个数之和能被11整除，则这些数组成一个数组，这样的数
2、组共有_个。例4 已知a、b、c为正整数，且是有理数。情景再现1已知a、b、c、d均为正整数，且logab=，logcd=。若ac=9，则bd= 。（2003年全国高中数学竞赛）2一组相邻的正整数，其中任何一个都不能被大于1的奇数的立方所整除，则这组数最多有_个。3将一个四位数的数码相反顺序排列时为原来的4倍，求原数。4由7个数字0，1，2，3，4，5，6组成且能被55整除的最小七位数是 ；B类例题例5证明：不存在正整数n，使得2n2+1，3n2+1，6n2+1全都是完全平方数。（2004年日本数学奥林匹克）例62005！+2，2005！+3，2005！+2005这连续的2004 个整数构成一
3、个数列，且此数列中无质数。是否存在一个由2004 个连续整数构成的数列，此数列中恰有12 个质数？ （2004年芬兰高中数学竞赛）例7已知m、n、k为自然数，mnk，且2m+2n2k是100的倍数，求m+nk的最小值情景再现5证明：15n2+n+26按如下的规则构造数列1，2，3，4，0，9，6，9，4，8，7，从第五个数字开始，每1个数字是前4个数字的和的末位数字。问 （1）数字2，0，0，4会出现在所构造的数列中吗？ （2）开头的数字1，2，3，4会出现在所构造的数列中吗？（2004年克罗地亚数学竞赛）7求有多少个正整数对(m,n)，使得7m+3n=102004，且mn。（2004年日本数
4、学奥林匹克）C类例题例8找出满足(a+b) (b+c)(c+a)+(a+b+c)3=1abc的全部整数a，b，c，并作出必要的推理说明。（2003年中国香港数学竞赛）例9求最小的正质数，使得对于某个整数n，这个质数能整除n2+5n+23。（2003年巴西数学奥林匹克）例10求方程 2x3y5z7w= 1 的所有非负整数解(x，y，z，w)。（2005年中国数学奥林匹克）情景再现8证明对于任意的整数n，11不能整除n2+5n+23。9求所有正整数n，使得n2n-1 +1是完全平方数。10求所有的正整数对（a，b），使得为正整数。（03年IMO）习题211求能使等式 + =1成立的所有正整数m，n
5、。2证明：3241能被91整除 3求所有多于两位的正整数，使得每一对相邻数字构成一个整数的平方。（2004年克罗地亚数学竞赛）4证明：任意五个相邻的正整数的平方和不是一个正整数的平方。（2004年克罗地亚数学竞赛）5设n是正整数，且4n2+17n15表示两个相邻正整数的积，求所有这样的n的值6将个数放在一个圆周上，任意连续的个数的和为，且放在第号位置的数是，第号位置的数是，第号位置的数是. 则放在第号位置的数是几。7求使(a3+b) (a+b3)= (a+b)4成立的所有整数对（a,b）。（2004年澳大利亚数学奥林匹克）8若正整数a、b、c满足a2+b2=c2，就称a、b、c为一组勾股数，证
6、明：若a，b，c是一组勾股数，则abc能被60整除9证明：存在无限正整数序列an,使得对于任意正整数n是一个完全平方数。（2004年澳大利亚数学奥林匹克）10数列a1，a2，定义如下：an=2n+3n+6n1（n=1，2，3，）。求与此数列的每一项都互质的所有正整数IMO-05.11. 试求解方程 = 。123个正整数中的任何两个数之积可以被该两数之和整除。证明：这3个正整数具有大于1的公约数。（2004年俄罗斯数学奥林匹克）13、设N1，N2，Nk是由五位数（十进制）构成的数组，使得任何一个各位数字形成严格上升序列的五位数中都至少有一位数字与数N1，N2，Nk中的某个数的相同位置上的数字相同。试求k的最小可能值。（2004年俄罗斯数学奥林匹克）
