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1、2013中考总结复习冲刺练： 坐标系中的几何问题【前言】前面六讲我们研究了几何综合题及代数综合题的各种方面，相信很多同学都已经掌握了。但是中考中，最难的问题往往都是几何和代数混杂在一起的，一方面涉及函数，坐标系，计算量很大，另一方面也有各种几何图形的性质体现。所以往往这类问题都会在最后两道题出现，而且基本都是以多个小问构成。此类问题也是失分最高的，往往起到拉开分数档次的关键作用。作为想在中考数学当中拿高分甚至满分的同学，这类问题一定要重视。此后的两讲我们分别从坐标系中的几何以及动态几何中的函数两个角度出发，去彻底攻克此类问题。第一部分 真题精讲【例1】2012，石景山，一模已知：如图1，等边的
2、边长为，一边在轴上且， 交轴于点，过点作交于点（1）直接写出点的坐标； （2）若直线将四边形的面积两等分，求的值； （3）如图2，过点的抛物线与轴交于点，为线段上的一个动点，过轴上一点作的垂线，垂足为，直线交轴于点，当点在线段上运动时，现给出两个结论： ，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明【思路分析】 很多同学一看到这种题干又长条件又多又复杂的代几综合压轴题就觉得头皮发麻，稍微看看不太会做就失去了攻克它的信心。在这种时候要慢慢将题目拆解，条分缕析提出每一个条件，然后一步一步来。第一问不难，C点纵坐标直接用tg60来算，七分中的两分就到手了。第二问看似较难，但是实际上考生
3、需要知道“过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分”这一定理就轻松解决了，这个定理的证明不难，有兴趣同学可以自己证一下加深印象。由于EFAB还是一个等腰梯形，所以对角线交点非常好算，四分到手。最后三分收起来有点麻烦，不过稍微认真点画图，不难猜出式成立。抛物线倒是好求，因为要证的是角度相等，所以大家应该想到全等或者相似三角形，过D做一条垂线就发现图中有多个全等关系，下面就忘记抛物线吧，单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简单了。至此，一道看起来很难的压轴大题的7分就成功落入囊中了。【解析】解：（1）； （2）过点作于，交于点，取的中点是等边三角形， 在中，交于， （就是四边形对
4、角线的中点，横坐标自然和C一样，纵坐标就是E的纵坐标的一半）直线将四边形的面积两等分直线必过点， （3）正确结论：证明：可求得过的抛物线解析式为 由题意又，过点作于由题意可知即： （这一问点多图杂，不行就直接另起一个没有抛物线干扰的图）【例2】2012，怀柔，一模如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线与正半轴交于点A,与轴交于点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC现有两动点P、Q分别从O、C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DEOA,交CA于
5、点E,射线QE交x轴于点F设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)(1)求A,B,C三点的坐标;(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;(3)当0t时,PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;(4)当t _时,PQF为等腰三角形?【思路分析】近年来这种问动点运动到何处时图像变成特殊图形的题目非常流行，所以大家需要对各种特殊图形的判定性质非常熟悉。本题一样一步步拆开来做，第一问送分，给出的抛物线表达式很好因式分解。注意平行于X轴的直线交抛物线的两个点一定是关于对称轴对称的。第二问就在于当四边形PQCA为平行四边形的时候题中已知条件有何关系。在运动中，
6、QC和PA始终是平行的，根据平行四边形的判定性质，只要QC=PA时候即可。第三问求PQF是否为定值，因为三角形的一条高就是Q到X轴的距离，而运动中这个距离是固定的，所以只需看PF是否为定值即可。根据相似三角形建立比例关系发现OP=AF，得解。第四问因为已经知道PF为一个定值，所以只需PQ=PF=18即可，P点（4t,0）Q (8-t,-10),F(18+4t,0)两点间距离公式分类讨论即可.本道题是09年黄冈原题,第四问原本是作为解答题来出的本来是3分,但是本题作为1分的填空,考生只要大概猜出应该是FP=FQ就可以。实际考试中如果碰到这么麻烦的,如果没时间的话笔者个人建议放弃这一分去检查其他的
7、.毕竟得到这一分的时间都可以把选择填空仔细过一遍了.【解析】解：(1) ，令得，或； 在中，令得即； 由于BCOA，故点C的纵坐标为10，由得或即 于是，（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QCPA.故只要QC=PA即可 得 （3）设点P运动秒，则，说明P在线段OA上，且不与点O、A重合，由于QCOP知QDCPDO，故 又点Q到直线PF的距离PQF的面积总为90 （4）由上知，。构造直角三角形后易得，若FP=PQ，即，故， 若QP=QF，即，无的满足条件；12若PQ=PF，即，得，或都不满足，故无的满足方程； 综上所述：当时，PQR是等腰三角形。 【例3】2012,延庆,一模如图，已知抛物
8、线：的顶点为，与轴相交于、两点（点在点的左边），点的横坐标是（1）求点坐标及的值；（2）如图（1），抛物线与抛物线关于轴对称，将抛物线向右平移，平移后的抛物线记为，的顶点为，当点、关于点成中心对称时，求的解析式；（3）如图（2），点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线抛物线的顶点为，与轴相交于、两点（点在点的左边），当以点、为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标yxAOBPM图1C1C2C3 yxAOBPN图2C1C4QEF【思路分析】出题人比较仁慈，上来就直接给出抛物线顶点式，再将B（1,0）代入，第一问轻松拿分。第二问直接求出M坐标，然后设顶点式，继续代入点B即可。第三问则需要
9、设出N，然后分别将NP，PF,NF三个线段的距离表示出来，然后切记分情况讨论直角的可能性。计算量比较大，务必细心。【解析】解：由抛物线：得顶点的为 点在抛物线上 解得， 连接，作轴于，作轴于点、关于点成中心对称过点，且,顶点的坐标为 （标准答案如此，其实没这么麻烦，点M到B的横纵坐标之差都等于B到P的，直接可以得出（4,5）抛物线由关于轴对称得到，抛物线由平移得到抛物线的表达式为抛物线由绕点轴上的点旋转得到顶点、关于点成中心对称由得点的纵坐标为设点坐标为 作轴于，作轴于作于旋转中心在轴上yxAOBPN图(2)C1C4QEFHGK，点坐标为坐标为，坐标为，根据勾股定理得 当时，解得，点坐标为 当
10、时，解得，点坐标为，综上所得，当点坐标为或时，以点、为顶点的三角形是直角三角形 【例4】2012，房山，一模如图，在平面直角坐标系中，直线l1：交轴、轴于、两点，点是线段上一动点，点是线段的三等分点（1）求点的坐标；（2）连接，将绕点旋转，得到当时，连结、，若过原点的直线将四边形分成面积相等的两个四边形，确定此直线的解析式；过点作轴于，当点的坐标为何值时，由点、构成的四边形为梯形？ 【思路分析】本题计算方面不是很繁琐，但是对图形的构造能力提出了要求，也是一道比较典型的动点移动导致特殊图形出现的题目。第一问自不必说，第二问第一小问和前面例题是一样的，也是要把握过四边形对角线交点的直线一定平分该四
11、边形面积这一定理。求出交点就意味着知道了直线.第二小问较为麻烦,因为C点有两种可能,H在C点的左右又是两种可能,所以需要分类讨论去求解.只要利用好梯形两底平行这一性质就可以了.【解析】（1）根据题意：， 是线段的三等分点或-2分（2）如图，过点作轴于点， 则点在直线上- 是由绕点旋转得到的无论是、点，四边形是平行四边形且为对称中心所求的直线必过点直线的解析式为: 当时，第一种情况：在点左侧若四边形是梯形与不平行此时 第二种情况：在点右侧若四边形是梯形与不平行是线段的中点是线段的中点由，点的横坐标为 当时，同理可得第一种情况：在点左侧时，- 第二种情况：在点右侧时，- 综上所述，所求M点的坐标为
12、：，或【例5】通州，2012，一模在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，（点A在点B左侧）.与y轴交于点C，顶点为D，直线CD与x轴交于点E.（1）请你画出此抛物线，并求A、B、C、D四点的坐标.（2）将直线CD向左平移两个单位，与抛物线交于点F（不与A、B两点重合），请你求出F点坐标.（3）在点B、点F之间的抛物线上有一点P，使PBF的面积最大，求此时P点坐标及PBF的最大面积.（4）若平行于x轴的直线与抛物线交于G、H两点，以GH为直径的圆与x轴相切，求该圆半径.【思路分析】本题看似错综复杂，尤其最后第四问的图像画出来又乱又挤，稍微没画好就会让人头大无比。但是不用慌，一步步来慢慢
13、做。抛物线表达式很好分解，第一问轻松写出四个点。第二问向左平移，C到对称轴的距离刚好是1，所以移动两个距离以后就到了关于对称轴对称的点上，所以F直接写出为（-2,-3）第三问看似棘手，但是只要将PBF拆解成以Y轴上的线段为公共边的两个小三角形就会很轻松了。将P点设出来然后列方程求解即可。最后一问要分GH在X轴上方和下方两种情况，分类讨论。不过做到最后一步相信同学们的图已经画的乱七八糟了，因为和前面的问题没有太大关系，所以建议大家画两个图分开来看。【解析】解：（1）. （2） （3）过点作轴的平行线与交于点，与轴交于点易得，直线解析式为设，则， 的最大值是. 当取最大值时的面积最大 的面积的最大
14、值为 . （4）如图，当直线在轴上方时，设圆的半径为，则，代入抛物线的表达式，解得. 当直线在轴下方时，设圆的半径为，则，代入抛物线的表达式，解得 圆的半径为或 .【总结】 通过以上五道一模真题，我们发现这类问题虽然看起来十分复杂，但是只要一问一问研究慢慢分析，总能拿到不错的分数。将几何图形添进坐标系大多情况下是和抛物线有关，所以首先需要同学们对抛物线的各种性质熟练掌握，尤其是借助抛物线的对称性，有的时候解题会十分方便。无论题目中的图形是三角形，梯形以及平行四边形或者圆，只要认清各种图形的一般性质如何在题中体现就可以了。例如等腰/边三角形大多和相似以及线段长度有关，梯形要抓住平行，平行四边形要看平行且相等，圆形就要看半径和题目中的条件有何关系。还需要掌握平分三角形/四边形/圆形面积的
