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1、高二圆锥曲线期末复习题一、 求轨迹方程直接法、定义法、代换法1. 动点P在曲线y21上运动，则点P与定点(0，1)连线的中点M的轨迹方程 y4x22. ABC的顶点A固定，角A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求ABC外心的轨迹方程x22byb2a23. 已知圆A：(x3)2y2100，圆A内一定点B(3,0)，动圆P过B点且与圆A内切，设动圆P的半径为r，求圆心P的轨迹方程解：由题可知|PB|r，圆P与圆A内切，圆A的半径为10，两圆的圆心距|PA|10r，即|PA|PB|10(大于|AB|)点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆2a10,2c|AB|6.a5
2、，c3.b2a2c225916，即点P的轨迹方程为1.二、 圆锥曲线的标准方程问题4. 已知曲线C: 1，若C是椭圆且长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于 8；若C是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围是 5. 求与椭圆1有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程y21.6. 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程（抛物线方程为y24x）.抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线1的一个焦点，并且这条准线垂直于x轴，又抛物线与双曲线交于点P(，)，求抛物线和双曲线的方程图2解：交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，
3、其准线垂直于x轴，可设抛物线方程为y22px(p0)点P(，)在抛物线上，()22p，p2，y24x.y24x的准线为x1，且过双曲线的焦点，c1，c1，即有a2b21，又点P(，)在双曲线上，1.联立，解得a2，b2，双曲线方程为4x2y21.故所求的抛物线与双曲线方程分别为y24x和4x2y21.三、 圆锥曲线定义运用（焦点三角形问题）7.椭圆1的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上. (1)若|PF1|4，则|PF2|_，F1PF2的大小为_(2)已知,则的最大值为 ；最小值为 .解析：由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a236，因为|PF1|4，所以|PF2|2.在PF1F2中，co
4、sF1PF2.F1PF2120.答案：21208.设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则|_.解析：由y24x得F(1,0)，准线方程为x1，又0，可知F是ABC的重心，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，1，即x1x2x33.|x11，|x21，|x31|x1x2x33336.答案：6四、 离心率问题9.双曲线1的离心率e(1,2)，则k的取值范围是()A(，0) B(12,0)C(3,0) D(60，12)解析：a24，b2k，c24k.e(1,2)，(1,4)，k(12,0)10.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交
5、于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A. B. C2 D3解析：不妨设双曲线C为1(a0，b0)，并设l过F2(c,0)且垂直于x轴，则易求得|AB|，22a，b22a2，离心率e，故选B.答案：B11.P(x0，y0)(x0a)是双曲线E：1(a0，b0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为. 求双曲线的离心率；则e.五、 渐近线问题12.过椭圆1的右焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，已知双曲线的焦点在x轴上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A、B两点，则双曲线的离心率e为()A. B.C. D.解析：A(，1)，B(，1)，设双
6、曲线为1(a0，b0)，渐近线方程为yx，因为A、B在渐近线上，所以1，e.答案：C13.若双曲线的渐近线方程为yx，它的一个焦点是(，0)，则双曲线的标准方程是_解析：由双曲线的渐近线方程为yx，知，它的一个焦点是(，0)，知a2b210，因此a3，b1，故双曲线的方程是y21.答案：y21六、 直线和曲线的位置关系问题1.相离、相切问题14.直线yk(x)与双曲线y21有且只有一个公共点，则k的不同取值有()A1个 B2个 C3个 D4个解析：由已知可得，双曲线的渐近线方程为yx，顶点(2,0)，而直线恒过(，0)，故有两条与渐近线成平行，有两条切线，共4条直线与双曲线有一个交点，故选D.
7、答案：D15.已知椭圆C：，直线，则与和椭圆C相切的圆的最小面积是 2.相交弦、中点弦问题16.已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程为()A.1 B.1 C.1 D.1解析：F(3,0)，AB的中点N(12，15)，kAB1.又F(3,0)，可设双曲线的方程为1，易知a2b29再设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有11由可得，即kAB1.*又12，15，*式可化为()1，由和可知b25，a24，双曲线的方程为1，故选择B.17.双曲线中心在原点，一个焦点坐标为F(，0)，直线yx1与其相交于M，N两
8、点，MN中点的横坐标为，则双曲线的方程为_解析：由题意知中点坐标为(，)，设双曲线方程为1.M(x1，y1)，N(x2，y2)，则1，1，得，即，所以，解得a22，故双曲线方程为1.答案：118.已知椭圆1(ab0)的离心率e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B.已知点A的坐标为(a,0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且4，求y0的值解：(1)由e，得3a24c2.再由c2a2b2，得a2b.由题意可知2a2b4，即ab2.解方程组得a2，b1.所以椭圆的方程为y21.(2)由(1)可知A(2,0)设B点的坐标为
9、(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x2)于是A，B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0.由2x1，得x1.从而y1.设线段AB的中点为M，则M的坐标为(，)以下分两种情况：当k0时，点B的坐标为(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是(2，y0)，(2，y0)由4，得y02.当k0时，线段AB的垂直平分线方程为y(x)令x0，解得y0.由(2，y0)，(x1，y1y0)2x1y0(y1y0)()4，整理得7k22，故k.所以y0.综上，y02或y0.七定值问题19.已知过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于
10、A(x1，y1)，B(x2，y2)两点求证：(1)x1x2为定值；(2)为定值证明：(1)抛物线y22px的焦点为F，设直线AB的方程为yk(k0)由消去y，得k2x2p(k22)x0.由根与系数的关系，得x1x2(定值)当ABx轴时，x1x2，x1x2，也成立(2)由抛物线的定义，知|FA|x1，|FB|x2.(定值)20.设P(x，y)是椭圆1上的点且P的纵坐标y0，点A(5,0)、B(5,0)，试判断kPAkPB是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由解：点P在椭圆1上，y216(1)16.点P的纵坐标y0，x5.kPA，kPB.kPAkPB.把代入，得kPAkPB.kP
11、AkPB为定值，这个定值是.21.已知动点P(x，y)(y0)到定点F(0,1)的距离和它到直线y1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设动圆M过点A(0,2)，且圆心M(a，b)在曲线C上，若圆M与x轴的交点分别为E(x1,0)、G(x2,0)，证明：线段EG的长度是一个定值图3解：(1)依题意知，曲线C是以F(0,1)为焦点，y1为准线的抛物线焦点到准线的距离p2，曲线C方程是x24y.(2)圆M的半径为其方程为(xa)2(yb)2a2(b2)2令y0得：x22ax4b40.则x1x22a，x1x24b4.(x1x2)2(x1x2)24x1x2(2a)24(4b4
12、)4a216b16.又点M(a，b)在抛物线x24y上，a24b，(x1x2)216，即|x1x2|4.线段EG的长度是4.22.已知动点在直线上，过点分别作曲线的切线， 切点为、, 求证：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标； 解：设，整理得：同理可得： ，又 ，.八最值问题、不等问题23.已知F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(1,2 C(1， D(1,3解析：|PF2|4a4a4a8a，当且仅当|PF2|，即|PF2|2a时取等号这时|PF1|4a.由|PF1|PF2|F1F2|，得6a2c，即e3，得e(1,3，故选D.答案：D24.椭圆1(ab0)的切线夹在两坐标轴之间的线段长的最小值为
