梅涅劳斯定理

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梅涅劳斯定理【定理内容】如果一条直线与的三边、或其延长线交于、点，那么.评等价叙述：的三边、或其延长线上有三点、，则、三点共线的充要条件是。三点所在直线称为三角形的梅氏线。【背景简介】梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。【证法欣赏】证法1：（平行线分线段成比例）证：如图，过作交延长线于，又则证法2：（正弦定理）证：如图，令，在中，由正弦定理知：，同理，即.【逆定理】梅涅劳斯定理的逆定理也成立，即如果有三点、分别在的三边、或其延长线上，且满足，那么、三点共线。注利用梅涅劳斯定理的逆定理可判定三点共线【定理应用】梅涅劳斯定理的应用定理1：若的的外角平分线交边延长线于，的平分线交边于，的平分线交边于，则、三点共线。证：由三角形内、外角平分线定理知， ， 则， 故、三点共线。【定理应用】梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意的三个顶点、作它的外接圆的切线，分别和、的延长线交于点、，则、三点共线。证：是的切线，则，同理：， 故、三点共线。【定理应用】【例1】已知：过顶点的直线，与边及中线分别交于点和.求证：.证明：直线截，由梅涅劳斯定理，得：又，则 注此例证法甚多，如“平行线”、“面积法”等，详情参看初中数学一题多解欣赏【定理应用】【例2】已知：过重心的直线分别交边、及延长线于点、.求证：.证：连接并延长交于，则，截，由梅氏定理得，；同理：，即