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1、专题三：转化与化归思想【考情分析】转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中。数学问题解答题离不开转化与化归，它即是一种数学思想又是一种数学能力，高考对这种思想方法的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点。（1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等。（2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等。（3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量
2、与解析几何等的转化。（4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。【知识交汇】转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程。1转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理
3、方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。2常见的转化方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式。常见的转化方法有：（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数
4、方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集获得原问题的解决。3化归与转化应遵循的基本原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的
5、问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。4转化与化归的指导思想(1)把什么问题进行转化，即化归对象；(2)化归到何处去，即化归目标；(3)如何进行化
6、归，即化归方法；化归与转化思想是一切数学思想方法的核心。【思想方法】题型1：集合问题例1（2011广东理2）已知集合A= (x，y)|x，y为实数，且，B=(x，y) |x，y为实数，且y=x， 则A B的元素个数为（ ）A0 B1 C2 D3（2）已知函数,在区间上至少存在一个实数使,求实数的取值范围.分析:运用补集概念求解。解答：设所求的范围为A,则注意到函数的图象开口向上 ；点评：对于许多集合问题，通过转化，将不熟悉和难解的集合问题转化为熟知的易解的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，便于将问题解决。题型2：函数问题例2（2011天津理21）已知函数（）求函数的单调区间和极值；（）
7、已知函数的图象与函数的图象关于直线对称证明当时，；（）如果，且，证明。解析：（）令，则；当变化时，的变化情况如下表：增极大值减所以在区间内是增函数，在区间内是减函数。函数在处取得极大值且（）因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以，于是记，则，当时，从而，又，所以，于是函数在区间上是增函数因为，所以，当时，因此（）(1) 若，由（）及,得,与矛盾；(2) 若，由由（）及,得,与矛盾；根据(1)，(2)可得不妨设由（）可知，所以因为，所以，又，由（），在区间内是增函数，所以，即点评：函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助
8、，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围题型3：不等式问题例3（1）（2011四川文11）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车某天需运往地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为（A）4650元（B）4700元（C）4900元（D）5000元（2）（2011江苏14）设集合,
9、, 若 则实数m的取值范围是_；解析：（1）C：设派用甲型卡车x（辆），乙型卡车y（辆），获得的利润为u（元），由题意，x、y满足关系式作出相应的平面区域，在由确定的交点处取得最大值4900元，选C 评析：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题。（2）解析：当时，集合A是以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合B是在两条平行线之间； ，因为此时无解；当时，集合A是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有 。.又因为。【温馨提示】本题是较为典型的恒成立
10、问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。构造函数解题是数学中的常用方法，通过巧妙地构造辅助函数，把原来的问题转化为研究辅助函数的性质，从而达到解题目的。题型4：三角问题例4（1）（2011四川理6）在ABC中.则A的取值范围是 (A)(0， (B) ，) (c)(0， (D) ，)答案：C；解析：由题意正弦定理。点评：本小题主要考查解三角形知识，并突出了边角互化这一转化思想的应用。（2）若，则（ ） AB CD 解析：若直接比较a与b的大小比较困难，若将a与b大小比较转化为的大小比较就容易多了。 因为 又因为 所以，所以 又因为，所以故选（A）。点评：体现在三角函数中是切
11、割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值（域）、最值、比较大小等问题。题型5：数列问题例5（2010辽宁理数，16）已知数列满足则的最小值为_. 【答案】【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=21+2+(n-1)+33=33+n2-n所以设，令，则在上是单调递增，在上是递减的，因为nN+,所以当n=5或6时有最小值。又因为，所以，的最小值为.点评：数列是一种特殊的函数，动态的函数观点是解决数列问题的有效方法。数列的项可看作定
12、义在正整数集（或它的有限子集）上的函数。如等差数列的通项公式，前n项的和公式。当时，可以看作自变量n的一次和二次函数。因此利用函数的思想方法去研究数列问题不仅能加深对数列的理解，也有助于学生解题思维能力的培养及增强应用函数思想解题的意识。题型6：立体几何问题例6（1）如果，三棱锥PABC中，已知PABC，PA=BC=l，PA，BC的公垂线ED=h求证三棱锥PABC的体积。分析：如视P为顶点，ABC为底面，则无论是SABC以及高h都不好求如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境解析：如图，连结EB，EC，由PABC，PAED，EDBC=E，可得PA面ECD这样，截
13、面ECD将原三棱锥切割成两个分别以ECD为底面，以PE、AE为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以VPABC=VPECD+VAECD=SECDAE+SECDPE=SECD PA=BCEDPA=。点评：辅助截面ECD的添设使问题转化为已知问题迎刃而解。（2）如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成角等于NSC。求证：SC垂直于截面MAB。（83年全国高考）分析：由三垂线定理容易证明SCAB，再在平面SDNC中利用平面几何知识证明SCDM。证明：由已知可得：SN底面ABC，ABCD，CD是斜线S
14、C在底面AB的射影， ABSC。 ABSC、ABCD AB平面SDNC MDC就是截面MAB与底面所成的二面角由已知得MDCNSC又 DCMSCN DCMSCM DMCSNCRt即 SCDM所以SC截面MAB。点评：立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平面上的证明时运用平面几何知识。题型7：解析几何问题例7（1）设x、yR且3x2y6x，求xy的范围。分析：设kxy，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中要注意隐含条件，即x的范围。解析：由6x3x2y0得0x2。设kxy，则ykx，代入已知等式得：x6x2k0 ，即kx3x，其对称轴为x3。由0x2得k0,4。所以xy的范围是：0xy4。另解：数形结合法（转化为解析几何问题）：由3x2y6x得(x1)1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。xy的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为xyk，代入椭圆中消y得x6x2k0。由判别式368k0得k4,所以xy的范围是：0xy4。再解：三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角
