四边形知识点复习

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1、第十九章 四边形 知识网络结构图专题总结及应用一、 知识性专题专题1 平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性质【专题解读】 围绕平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性质进行命题.例1 下列说法错误的是 ( )A.平行四边形的对角相等B.等腰梯形的对角线相等C.两条对角线相等的平行四边形是矩形D.对角线互相垂直的四边形是菱形分析 由平行四边形、矩形、等腰梯形的性质可以发现A，B，C都是正确的.D不正确，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，还可能是正方形或等腰梯形.答案：D【解题策略】对角线互相垂直的四边形不一定对角线互相平分.例2 如图19-125所示，在梯形ABCD中，

2、ABCD，E为BC的中点，设DEA的面积为，梯形ABCD的面积为，则与的关系为 .分析 由E为BC的中点，延长DE与AB的延长线交于点F，由CDAB，得，又因为所以CEDBEF，所以DE=EF，所以S菱形ABCD= SDAF.由等底等高的三角形面积相等，得= SAFE=，即或.答案：（或）【解题策略】根据三角形面积公式，当同底三角形的高相等式相同时，可以考虑由底的关系确定三角形的面积之间的关系.例3如图19-126所示，ABCD是正方形，G是BC上一点，于点E，于点F.（1）求证ABFDAE；（2）求证.分析 （1）根据正方形的性质证明全等的条件.（2）由全等和，则问题可证.证明：（1）在正方

3、形ABCD中， . ，. 又ABFDAE（AAS）. （2）由（1）可知ABFDAE，即.专题2 平行四边形（含特殊的平行四边形）的判定与性质之间的区别与联系【专题解读】 围绕平行四边形（含特殊的平行四边形）的判定与性质综合应用命题.例4 如图19-127所示，将一张矩形纸片ABCD沿着GF折叠（F在BC边上，不与B，C重合），使得C点落在矩形ABCD的内部点E处，FH平分，则的度数a满足 （ ）A.90a180B.a=90C.0a90D.a随关折痕位置的变化而变化分析 利用矩形的性质和三角形全等的性质解答本题.由GCFGEF得，又有，所以所以.答案：B例5 如果菱形的一条对角线长是12，面积

4、是30，那么这个菱形的另一条对角线长为 .分析 由于菱形的对角线互相垂直，所以菱形的面积可以用两条对角线乘积的一半表示，故另一条对角线的长为（）.答案：5例6 如图19-128所示，的周长为16，AC，BD相交于点O，交AD于点E，则的DCE周长为 （ ）A.4 B.6C.8 D.10分析 因为的周长为16，所以（），因为O为AC的中点，又因为于点O，所以，所以DCE的周长为（）.答案：C二、规律方法专题专题3 构造中位线解决线段的倍分关系【专题解读】 题目中涉及或2倍关系时，常常考虑构造中位线.例7 四边形ABCD为平行四边形，AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点.（1）求证（2）若

5、求BE的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积.证明：（1）如图19-129所示，延长DC交BE于点M， BEAC，ABDC，四边形ABMC是平行四边形.C为DM的中点.BEAC，CF是DME的中位线，. 解：（2）由（1）得CF是DME的中位线，故. 又. 四边形ABMC是平行四边形，.又，在RtADC中，利用勾股定理得.（3）可将四边形ABED的面积分为梯形ABMD和三角形DME两部分. 在RtADC中利用勾股定理得.由CF为DME的中位线得.由四边形ABMC是平行四边形得.梯形ABMD的面积为.由和BEAC，得三角形DME是直角三角形，其面积为，四边形ABED的面积为.专题4

6、 构造平行四边形解决线段相等、角相等的问题【专题解读】 利用平行四边形边、角的性质可以解决有关线段相等、角相等的问题.例8 如图19-130所示，在中，是DC的中点，E是垂足，求证.分析 添加辅助线MN，交BE于F.N为AB中点，由已知条件证得.由三角形中位数性质证得则，又由四边形BCMN是菱形，证得，从而结论得证.证明：取AB的中点N，连接MN，MB.MN交EB于F. 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以ABDC. 又M，N分别是DC，AB的中点， 所以DMAN，MCNB， 即四边形ANMD和四边形MNBC都是平行四边形. 所以. 因为N是AB中点，NFAE， 所以F是BE的中点. 又，所

7、以， 因为MC=BC，所以是菱形， 所以，即.【解题策略】证明角的和、差、倍、分关系时，应依据题目的背景经观察分析后适当添加辅助线，把较大角分割成若干较小角，最终归结到证明两个角相等的途径上以解决问题.本题添加辅助线MN，MB后，利用菱形对角线性质及等腰三角形三线合一的性质证明有关角相等，从而解决问题.专题5 有关四边形的性质与判定的开放探索题【专题解读】 这类题分为条件开放、结论开放、条件和结论双开放三种类型.例9 如图19-131所示，在中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF于点M，N.给出下列结论：ABMCDN；SAMB SABC.其中正确的结论是 . （只填序号）分析

8、 四边形ABCD是平行四边形，AB CD，又E，F分别是AD，BC的中点，DEBF，四边表BEDF是平行四边形，ABMCDN.正确.由可得又ADBC，又AMECNF，.由FNBM，FC=BF，得CN=MN，正确.SAMB SABC.不正确.FN为BMC的中位线，ABMCDN，则.正确.答案：专题6 动手操作题【专题解读】 这类题的特点是根据给出的图形，需要通过裁剪、平移、旋转等方法才能得到题中要求的图形和结论.例10 某市要在一块块形状为平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求其分别在的四条边上，请你设计两种方案.方案

9、（一）：如图19-132（1）所示，两个出入口E，F已确定，请在图（1）上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法.方案（二）：如图19-132（2）所示，一个出入口M已确定，请在图（2）上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法.解：方案（一） 画法1：过F作FHAB，交AD于点H.在DC上作取一点G，连接则四边形EFGH就是所要画的四边形，如图19-133（1）所示.画法2：过F作FHAB，交AD于点H.过E作EGAD，交DC于点G，连接则四边形EFGH就是所要画的四边形，如图19-133（2）所示.画法3：在AD上取一点H，使.在CD上任取一点G，连接EF,则四边形EFGH就是所要画的四边

10、形，如图19-133（3）所示.方案（二） 画法：过M点作MPAB，交AD于点P.在AB上取一点Q，连接PQ.过M作MNPQ，交DC于点N，连接QM，PN，则四边形QMNP就是所要画的梯形，如图19-133（4）所示.三、 思想方法专题专题7 转化思想【专题解读】 本章中转化思想主要是将梯形问题转化为三角形和平行四边形问题来处理.例11 如图19-134所示，在梯形ABCD中，ABCD，将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么AD的长度为 .分析 BD是AB沿BE折叠得到的，.过点D作垂足为F.DCAB，.答案：30【解题策略】在梯形中求线段的长，常作梯形的高为辅助线，使其转化为矩形

11、和直角三角形，化整为零，化陌生为熟悉，这是处理梯形问题常见的转化方法.专题8 方程思想【专题解读】 本章主要体现在通过方程（组）、不等式（组）恒等变形等式代数方法解决有关图形计算的问题.例12 已知两个多边形的内角和为1440，且两多边形的边数之比为1：3，求它们的边数分别是多少.分析 先设某一个多边形的边数为x，由多边表的内角和公式列出关于x的一元一次方程，求解即可.解：设其中边数较少的多边形边数是x，则另一个多边形边数是3x， 由题意得，解得.答：它们的边数分别为3和9.2011中考真题精选1. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，过点D作DEBC，垂足为E，并延长DE至F，使E

12、F=DE连接BF、CD、AC（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）如果DE2=BECE，求证四边形ABFC是矩形考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质专题：证明题分析：（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC=BD，再根据垂直平分线的性质得到DB=FB，从而得到AC=BF，然后证得ACBF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；（2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形解答：证明：（1）连接BD，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC

13、，AC=BD，ACB=DBCDEBC，EF=DE，BD=BF，DBC=FBC，AC=BF，ACB=CBFACBF，四边形ABFC是平行四边形；（2）DE2=BECE ，DEB=DEC=90，BDEDECBDC=BFC=90，四边形ABFC是矩形点评：本题考查了等腰梯形的性质、全等及相似三角形的判定及性质等，是一道集合了好几个知识点的综合题，但题目的难度不算大2. （2011四川广安，23，8分）如图5所示，在菱形ABCD中，ABC 60，DEAC交BC的延长线于点E求证：DEBE图5考点：菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，线段的倍分关系专题：四边形分析：思路一：易知四边形ACED是平行四边形，则ADCEBC，从而可知BCBE，要说明DEBE，只需说明DEBC即可思路二：连接BD，先证BDE90，再证DBE30，根据30的角所对的直角边等于斜边的一半可直接获得结论（自己完成证明过程）解答：ABCD是菱形，AD/BC，ABBCCDDA又ABC 60，BCACADDEACACED为平行四边形CEAD