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1、.任意角的三角函数第一课时教学目标1掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义包括定义域、正负符号判断；了解任意角的余切、正割、余割函数的定义. 2经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验. 3培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观. 4培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 一、 重点、难点、关键重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、正负符号判断法. 难点：把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值的
2、确定性 确定,比值也随之确定与依赖性比值随着的变化而变化. 二、 教学过程执教线索：回想再认：函数的概念、锐角三角函数定义锐角三角形边角关系问题情境：能推广到任意角吗？它山之石：建立直角坐标系为何？优化认知：用直角坐标系研究锐角三角函数探索发展：对任意角研究六个比值与角之间的关系：确定性、依赖性,满足函数定义吗？自主定义：任意角三角函数定义登高望远：三角函数的要素分析对应法则、定义域、值域与正负符号判定例题与练习回顾小结布置作业 一复习引入、回想再认开门见山,面对全体学生提问： 在初中我们初步学习了锐角三角函数,前几节课,我们把锐角推广到了任意角,学习了角度制和弧度制,这节课该研究什么呢？探索
3、任意角的三角函数板书课题,请同学们回想,再明确一下：情景1什么叫函数？或者说函数是怎样定义的？让学生回想后再点名回答,投影显示规范的定义,教师根据回答情况进行修正、强调：传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,自变量x的取值范围叫做函数的定义域.现代定义：设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数 fx和它对应,那么就称映射：AB为从集合A到集合B的一个函数,记作：y= fx,xA ,其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域. 情
4、景2我们在初中通过锐角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数. 请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？对边邻边sin=,con=,tan=图1引伸铺垫、创设情景情景3我们已经把锐角推广到了任意角,锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看,可以独立思考和探索,也可以互相讨论！留时间让学生独立思考或自由讨论,教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导. 能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让学生回答. 用角的对边、临边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了,由于前面已经以直角坐标系为工具来研究任意角了,学生一般会想到否则教师进行提示继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数. 教师对
5、学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！把锐角安装如何安装？角的顶点与原点重合,角的始边与x轴非负半轴重合在直角坐标系中,在角终边上任取一点P,作PMx轴于M,构造一个RtOMP,则 MOP=锐角,设Px,yx0、y0,的临边OM =x、对边MP=y,斜边长|OP=r.根据锐角三角函数定义用x、y、r列出锐角的正弦、余弦、正切三个比值,并补充对应列出三个倒数比值：xOMPysin=,con=,tan= ?= ?= ?=图2情景4各个比值与角之间有怎样的关系？比值是角的函数吗？追问：锐角大小发生变化时,比值会改变吗？先让学生想象思考,作出主观判断,再用几
6、何画板动画演示,同时作好解释说明：保持r不变,让P绕原点O旋转即在锐角范围内变化,六个比值 随之变化的直观形象。结论是：比值随的变化而变化. xOMPy图3PM引导学生观察图3,联系相似三角形知识,探索发现： 对于锐角的每一个确定值,六个比值都是确定的,不会随P在终边上的移动而变化. 得出结论：当为锐角时,六个比值随的变化而变化；但对于锐角的每一个确定值,六个比值都是确定的,不会随P在终边上的移动而变化. 所以,六个比值分别是以角为自变量、以比值为函数值的函数. 三分析归纳、自主定义情境5能将锐角的比值情形推广到任意角吗?水到渠成,师生共同进行探索和推广：对于一个任意角,它的终边所在位置包括下
7、列两类共八种情形投影展示并作分析：终边分别在四个象限的情形： 终边分别在四个半轴上的情形：PyxOyxPO角终边PyxOPyxO图4PyxOPyxOPyxOPyxO图5；指出：不画出角的方向,表明角具有任意性怎样刻画任意角的三角函数呢？研究它的六个比值：板书设是一个任意角,在终边上除原点外任意取一点Px,y,P与原点O之间的距离记作rr=0,列出六个比值：=k+/2时,x=0,比值 y/x、r/x 无意义；= k时,y=0,比值x/y、r/y无意义.追问：大小发生变化时,比值会改变吗？先让学生想象思考,作出主观判断,再用几何画板动画演示,同时作好解释说明：使r保持不变,P绕原点O逆时针、顺时针
8、旋转即角变化,六个比值随之改变的直观形象。结论是：各比值随的变化而变化. 再引导学生利用相似三角形知识,探索发现： 对于任意角的每一个确定值,六个比值都是确定的,不会随P在终边上的移动而变化. 综上得到强调：当角变化时,六个比值随之变化；对于确定的角, 六个比值如果存在的话都不会随P在角终边上的改变而改变,六个比值是确定的. 因此,六个比值分别是以角为自变量、以比值为函数值的函数.根据历史上的规定,对比值进行命名,指出英文记法和读法,记作承前作复合板书：=sin正弦 =cos余弦 =tan正切 =csc余割 =sec正弦 =cot余切 教师强调：sin表示sin与的乘积吗？不是,sin是函数记
9、号,是一个整体,相当于函数记号fx. 其它几个三角函数也如此投影显示图六,指导学生分析其对应关系,进一步体会其函数内涵：yr正弦xr余弦yx正切ry余割rx正割xy余切图六指导学生识记六个比值及函数名称. 教师指出：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个函数统称为三角函数,三角函数有非常丰富的知识和思想方法,我们以后主要学习正弦、余弦、正切三个函数的相关知识和方法,对于余切、正割、余割,只要同学们了解它们的定义就够了遵循大纲要求. 引导学生进一步分析理解：已知角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,对于每一个确定的实数,把它看成一个弧度数,就对应着唯一的一个角,从而分别对应着六个唯一的三角函
10、数值. 因此,板书三角函数可以看成是以实数为自变量的函数,这将为以后的应用带来很多方便. （四） 探索定义域情景61函数概念的三要素是什么？函数三要素：对应法则、定义域、值域. 正弦函数sin的对应法则是什么？正弦函数sin的对应法则,实质上就是sin的定义：对的每一个确定的值,有唯一确定的比值y/r与之对应,即 y/r= sin.布置任务情景：什么是三角函数的定义域？请求出六个三角函数的定义域,填写下表：三角函数sincostancotcscsec定义域引导学生自主探索：如果没有特别说明,那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域,三角函数的定义域自然是指：使比值有意义的角的取值范
11、围. 关于sin=y/r、cos=x/r,对于任意角弧度数,r0,y/r、x/r恒有意义,定义域都是实数集R. 对于tan=y/x,= k+/2 时x=0,y/x无意义,tan的定义域是：|R,且k+/2 . 教师指出:sin、cos、tan的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟,cot、csc、sec的定义域不要求记忆. 关于值域,到后面再学习.五符号判断、形象识记情景7能判断三角函数值的正、负吗？试试看！引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析,r0,三角函数值的符号决定于x、y值的正负,根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：yxyxyx同好得正、异号得负sin= y/r：上正下负横为0
12、 cos=x/r：左负右正纵为0 tan=y/x：交叉正负练习巩固、理解记忆1、 自学 例1：已知角的终边经过点P2,-3,求的六个三角函数值. 要求：读完题目,思考：计算什么?需要准备什么?闭目心算,对照解答,模仿书面表达格式,巩固定义. 课堂练习：p19题1：已知角的终边经过点P-3,-1,求的六个三角函数值. 要求心算,并提问中下学生检验,-点评：角终边上有无穷多个点,根据三角函数的定义,只要知道终边上任意一个点的坐标,就可以计算这个角的三角函数值或判断其无意义. 补充例题：已知角的终边经过点Px,-3,cos=4/5,求的其它五个三角函数值. 师生探索：已知y=-3,要求其它五个三角函
13、数值,须知r=？,x=？.根据定义得=方程思想,x0,解得x=4,从而-.解答略.2、 自学例2：求下列各角的六个三角函数值： 0；/2 ； 3/2.提问,据反馈信息作点评、修正. 师生探索：紧扣三角函数定义求解,首先要在终边上取定一点。终边在哪儿呢？取定哪一点呢？任意点、还是特殊点？要灵活,只要能够算出三角函数值,都可以。取特殊点能使计算更简明。课堂练习：p19题2.改编填表：角角度090180270360角弧度sincostan处理：要求取点用定义求解,针对计算过程提问、点评,理解巩固定义. 强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角,如0、/2 、3/2 等,今后经常用到轴线角的三角函数值,要结合三角函数定义记熟这些值. （六）
