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1、高斯最小移频键控编码系统最优化摘要：在这一部分，将要研究在加性高斯白噪声下高斯最小频移键控的分组码和卷积码。在使用简单的次优化解调系统时，分组码和卷积码中分别用多种分组长度和约束长度发现可不以带宽的增加来获得性能的提高。对一个固定系统传输带宽，根据不同的带宽值，编码的带宽利用率和调制的频带利用率之间的权衡会被检验和最优化。索引词条：分组码，卷积码，编码，高斯最小频移键控，最优化方法。概述GMSK是在1981年被首次提出的一种流行的调制方法，因为它的多种特性例如高效的带宽和连续的包络，它成为了一种被广泛用于蜂窝系统诸如GSM和DCS1800的调制方案中。尽管GMSK的性能已由几项研究分析过，例如
2、3-7,GMSK的编码也受到了一些重视，但是有些工作，例如GMSK编码的最优化还没有得到充分验证。众所周知，当考虑到调制的独立性时，编码会增加所需传输带宽，但是，在给定传输带宽下调制和编码的折中并没有得到很好的理解。在这一部分，我们会检验在加性高斯白噪声信道中已编码GMSK系统的权衡，并且决定在传输带宽的范围内编码量的优化。我们也会推导使用相同传输带宽时较未被编码的系统情况所能获得的量化增益。为了使编码系统与未编码系统的带宽相同，我们使用如图1的编码方法。编码系统的编码器增加了所必须传输的比特数，为保持传信率恒定，这些编码比特的比特间隔必须被缩短。更短的比特间隔导致的结果是传输带宽的增大，因此
3、，编码系统所使用的调制器必须采用了相比较无编码系统中为使整个传输带宽固定的调制器而言的较小的Bb即调制器的前置滤波器的带宽，它将在下一章节定义，所以，相同带宽的未编码系统与编码系统可以产生。无编码系统 GMSK调制器数据源编码GMSK系统GMSK调制器（窄带）编码数据源 图一.编码GMSK系统作为参照与无编码系统相对照其余部分作如下安排：首先，我们先从一些基本的GMSK讨论和评估系统性必要的测量指标开始，然后我们考虑分组码和编码与调制组合的优化，最后，检验卷积码中中的优化问题并得出一些结论。二 基本准备A. GMSK调制一个GMSK信号可以表示为 (1),这里，A表示信号的幅度，fc表示载频，
4、ak表示输入数据，T是比特间隔，g(t)是决定整个调制信号频谱特性的频率脉冲，编码系统的比特间隔与无编码系统的比特间隔的关系式为(2)，r是码率。对于GMSK，g(t)由5给出， (3),此处的erf(.)被定义为 (4),k是恒定值，以使脉冲间隔等于1/2,Bb表示GMSK调制器中所使用的高斯滤波器的3dB带宽，c是给定的常值，脉冲频率是持续作用以便使频率严格缩短到-T/2,T/2区间内。参数L是调制器的内存长度，即信号标志可以影响的数字符号。在这一部分，我们使用L=3，因此,GMSK信号的频谱，带宽可以容易的由参数Bb控制。较大的Bb值可产生较大的信号带宽。B. 带宽为了决定在相同带宽是何
5、种编码率和Bb组合能够与无编码系统有相同的结果，在这一部分，我们使用百分比能量容纳带宽，用Bx表示，即包含x%信号能量的带宽，例如，B99.9就是包含了99.9%信号能量的带宽。对GMSK，B90,B99，B99.9如图2所示。当BbT从0.45增加到0.5时，B99.9曲线快速上升。正如我们可以从GMSK的功率谱密度图上看到的那样，例如1，这是由主瓣和旁瓣展宽引起的。功率谱密度中，B99.9对变化更为灵敏使曲线快速上升。C误码率 信号在加性高斯白噪声信道中传输，高信噪比时GMSK误码率被定义为（5），这里，erfc(.)是互补误差函数，（6），是表示0的信号与表示1的信号之间的归一化最小欧式
6、距离，E每比特位的能量，No/2是加性高斯白噪声的功率谱密度，即SNR等于E/No.GMSK归一化最小欧式距离得到定义并如图1所示,当Bb增加时，接近最大值2，与最佳反极信号的性能相一致。尽管GMSK是带有存储的调制系统，在这一部分，我们使用简单的调制方案，仅依靠一个比特几个可能的信号波形中的两个之间的最小距离。为了在无编码和编码系统中做一个相当的比较，无编码系统中（5）E的值是Eb,是传送每比特信息的能量。对于编码系统，E的值使用rEb，因为无编码比特的能量扩展到更多编码比特。分组码A.性能 分组码通常表示为（n,k,t）,n是分组长度，k是信息比特位数，t是可以被纠错的错误比特数，误码率定
7、义为k/n。在加性高斯白噪声信道中使用分组码时，误码率近似表示为9，（7），p是信道的错误概率，对于GMSK,p由（5）给出。B.最优化问题对于给定的传输带宽和信噪比，在使用编码GMSK系统时，什么才是最小的错误可能。相似的，为了得到一定概率的错误什么才是最小SNR？这个问题基本上可以归结为给定带宽时寻找最好的GMSK调制和编码率组合。众所周知，提高分组长度可以提高性能，所以我们考虑对各种长度的最优化问题。数学上，这个最优化问题可以陈述如下，对B使（7）最小，n,Eb/No=常值。在最优化过程中可以变化的参数是t,由于这是一个离散的最优化问题，即变量t只能取正整数，我们可以由（7）从1计算直到
8、得到最小值。我们知道，由于等式的单调性只能有一个最小值，当t增加时，编码率下降，导致调制可用频带降低。这反过来导致（5）中的dmin变大。因此，p随着t的增大而增大。在式（7）中，当t增加时p也增加，这导致Pb暂时的降低，直到p的增加抵消数量上的减小，这产生了唯一的最小值Pb.CBCH编码方案为了研究编码GMSK性能的限制因素，我们通常使用BCH码解决最优化问题，参数取自10，附录E。为了在以下条件下计算（7），我们设置如下：1.设t=1，2.为t选择BCH码参数，3.调制可用带宽Bx=rB，4.计算对应于Bx的Bb值，5.计算这个Bb值的最小距离，6.利用（5）和E/No=rEb/No，7.
9、利用（7）计算Pb，8.增加t，9.重复步骤（2）到（8），直到找到最小值。举个例子，按照要求的信噪比为达到Pb=10-5，我们在图3中列出了GMSK调制参数。正如参数所示，当t增加时，性能有所提高，直到达到最小值直至恶化。使用分组长度为255时无编码系统的最大提高是近似为2.3dB。我们可以看到当分组长度变为两倍时性能近似常值。正如期望的那样，存在一个给定总传输带宽下编码与调制的最优组合。检验相关等式，当t增加时，编码率会降低。这导致较小的GMSK调制带宽，因此也有较小的dmin*dmin和较高的p,如果t恒定，加大的p值回事Pb增加。另一方面，如果p恒定，加大的t值会使Pb减少。由于t和p
10、都增加，使得t的增加取决于p的增加是如何反应t的增加的。只要p增加的不是太多，t的增加对于较小的Pb是足够的。在某些点，p增加太多反而使t和Pb的增加恶化。这就引起如图3所示信噪比的最小值。如果我们对不同系统带宽重复上述计算，一系列曲线如图3所示结果，无编码系统获得的每分组长度的最小增益被表示为系统带宽的等式。如图所示，当系统传输带宽增加时所获得的增益也会增加。这是所期望的，因为随着带宽的增加，我们就能使用较低的误码率而无需牺牲调制性能。但是，在B99.9T=2附近时增益开始趋于饱和。如果系统带宽增加很多，使用较低编码率也可提高系统性能，因为BbT1调制系统的性能几乎是恒定的。获得最大增益时的
11、编码率，即GMSK编码系统的最佳性能，我们得到如图5显示的曲线。我们发现，当系统带宽增加时最好性能时的编码率就会降低。当分组长度变化时会有一些变化，但是这也归因于短分组长度时缺少编码。对于给定系统带宽，使用的最优BCH编码与GMSK调制系统编码组合依赖于几个因素，例如带宽测量和分组长度。对于能获得最大增益的BCH编码使用B99.9，即图5，调制和编码参数如表1所示。在之前的讨论中，我们通常使用B99.9作为带宽测量。现在我们来看一下使用带宽测量更加保守时的效果，在图6所示是使用B90，B99，B99.9的最大增量。在所有情况中，有些增益可以获得。但是并不是使用99%带宽和99%带宽就能获得更大
12、增益。图2中所看到的Bb的变化灵敏。因此，为了能够使用这些情况的编码，当使用99.9%带宽测量时，Bb就必须降低很多。卷积码A.编码定义下面，我们考虑使用卷积码的GMSK编码，卷积码通常由码率r=k/n,长度K,及M，自有距离dfree。编码时，对于卷积码，k和n是输入输出数目。这里，我们使用限定长度10,p.268的定义，即这个限定长度是在单个输出流中可以受任何输入比特影响的最大比特值。我们使用那些给定的10,p.285和11,p.496的卷积码。对于给定的K和M，他们能获得的最大dfree。这些编码能提供卷积码GMSK系统的最优性能。我们使用比值为1/2,4/7,3/5,2/3,3/4,和
13、4/5,但是并没有对所有的K值编码指标。为了在一些敏感的值能够使用编码，我们根据M值来组织卷积码成一个系列，这意味着每一组中的所有代码的状态与解码器格子数相同，因此相同的译码复杂度。B. 性能卷积码的误码性能可近似表示为（8） 是信息的比特数，与码重的码序列有关，而Z(dfree)是信道的函数与译码方法。对于加性高斯白噪声信道和硬判决译码即交叉概率为p的二元对称信道，Z（dfree）被定义为（9）对于加性高斯白噪声的软判决信道，Z（dfree）被定义为(10)，这里,E和No如（5）。至于分组码为了得到软判决和硬判决误码率10-5我们计算SNR。当系统带宽为2.25时的结果如图7所示。我们可以
14、看到当存储器件数量的数量M增加时在固定的间隔上性能的提高。我们仍然可以看到软判决比硬判决高3dB。对于分组码由于调制性能和编码增益的折中，性能已达到最优化。如果在总系统带宽作用下关注软判决编码和计算计算无编码系统的性能增益，我们会得到如图8所示的结果。正如分组码那样，我们看到当系统带宽增加时增益的提高。C.与分组码的比较观察获得最大增益时码率，我们发现分组码与卷积码获得相似结果。如图9所示由于码数和相应的码率在较小的系统带宽值使卷积码曲线较低。但是这种趋势和码率和分组码相匹敌。这表明调制和编码之间最优折中独立于编码类型的使用。卷积码和GMSK调制的最佳组合的参数如表2所示。综述在这一部分，GMSK编码的最优化得到检验。最优化编码率由传输带宽的式子得到。从这个结果，可以发现，编码应使用的系统带宽的百分比是很小的，当系统带宽小，大时，系统带宽大。对于一个系统总带宽等于比特率的两倍时发现，应当用于编码和调制的2/3，1/3的系统带宽。使用BCH码和卷积码，它被发现无编码系统具有相同的带宽，误码率性能，可以很容易地超过3dB改善。在衰落信道运算优化，目前正在审查中。图2图3 图4图5表一图6图7 图8图9表二
