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1、矩阵三角分解第2章 线性代数方程组数值解法I：直接法 1. 矩阵事实上，顺序Gauss消去过程对应一个矩阵的三角分解，即对Ax=b的顺序Gauss消去过程的结果，把矩阵A分解成两个三角矩阵L与U的乘积：A=LU 下面来证实这一点.依次取第 k步消元的乘法 (k)(k) lik=aik (i=k+1,k+2,L,n) /akk(k+1)(k)(k) 则直接验证可知,第k步消元(aij)的结果等价于对Ak左乘Lk: =aij-likakjA(k+1)=LkA(k) 于是 ,经过n-1步消元,应有 u11 u12 u13u22 u23 Ln-1LL2L1A=U U= (2.3.1) u33 这里U为
2、上三角矩阵，另外，又容易直接验证Lk有下列两个基本性质： (1) Lk的逆阵存在，且有 1O111l L- =k+1,kk (2.3.2) OM1lnk1 (2) 逆阵L-k的乘积 11l21-1-1-1 L1L2LLn-1= =L MO1lLn1ln1-11-1从而对(2.3.1)式两端依次左乘L-n-1,L2,Lk可得 -1-11U=LU A=L1L2LL-n-1L就是(2.3.3)式所示的单位下三角矩阵。这就是矩阵的三角分解或称LU分解。 A=LU 称为A的doolittle分解 A=LU=LDU=LU 称为A的克劳特分解 - A=LDU 称为 A的LDU分解 对于于有选主元和换行步骤的
3、Gauss消去过程，也可证明它对应于“A左乘排列矩阵P的LU分解”，即有PA=LU。 例 2.3.1 用直接三角分解法解方程组 2 -3 -2x1 0-1 x = -1 2 -224 3 -1 7x3解 把解法分为3个步骤： 令A=LU，用Doolittle分解，即令 u11 u12 u13 2 -3 -21 -1 2 -2 = l lu u212223 41 u33 3 -1 l31 l32 考虑A的第1行，对比右边两矩阵的乘积，有 2=1u11 u11=2-3=1u12 u12=-3 -2=1u u=-21313此结果即U的第1行与A的第1行全同，这对一般情形也是适用的，因此，在分解计算中
4、，此结果也可直接写出。接着，再依次考虑A的第1列、第2行、第3列(除去已考虑过的元素)，作同样比较有 l21=-1/2-1=l21u11 3=lu l=3/2311131 2=l21u12 +1u22 u22=1/2 -2=l21u13 +1u23 l23=-3-1=l31u12+l32u22 l32=7 4=l31u13+l32u23+1u33 u33=28 1 2 -3 -2 -1/2 11/2 -3 即得 A=1 28 3/2 7 用前推过程解下三角方程组 1 y10y10 -1/2 y = -1 得 y = -1 1221 3/2 7 714y3y3用回代过程解上三角方程组 x12 -
5、3 -2 x10 2 x = -1 得 x = 1 1/2 -322 28 141/2x3x3下面以不包括选主元和换行的Doolittle分解为例，给出解n阶方程组Ax=b的一般计算公式及整个求解过程 令A=LU，即令 L a1n 1L u1na11 a12 u11 u12 a a l 1L au L u2121222n222n = M M O M M M O Ml l L 1a a L a un1n1n2nnnnn1利用矩阵乘法规则,并对比等式两边对应元素,由A的第1行得 a1j=1u1j (j=1，2， L，n) a1j=u1j (j=1，2， L，n) (2.3.5) 由A的第1列得 a
6、k1=lk1u11 (k=2，3， L，n) lk1=ak1/u11 (k=2，3， L，n) (2.3.6) 依此类推，由A的第k列得 akj=lkrurj+ukjr=1k-1 ukj=akj-lkrurj (j=k，+1，L，n)r=1k-1 (2.3.7) 由A的第k列得 aik=lirurk+likukkr=1k-1 lik=(aik-lirurk)/ukk (i=k+1，L，n)r=1k-1 (2.3.8) 求解下三角方程组Ly=b得 y1=b1i-1 3，L，n)yi=bi-liryr (i=2，r=1求解上三角方程组Ux=y得 xn=yn/unnn L，2，1)xi=(yi-uirxr)/uii (i=n-1，r=i+1这就是用直接三角分解法求解方程组的公式，其中第步中的前两个公式也可合并入后两个公式；第，步中的前一公式也可并入后一公式，这时当公式中出现和r=10r=n+1n时均不执行计算，作零处理。 n3可以推出，Doolittle算法的乘除法次数大致为，与Gauss消3去法大致相同，故就计算量而言，采用Doolittle算法解方程组并无特别优势。应用中，主要借助直接三角分解法的处理方法来处理具有特殊情况的方程组。这就是下一节要介绍的解三角方程组的追赶法和解对称正定方程组的平方根法。
