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1、数列求和方法总结一等差、等比数列求和问题总结1.直接套用公式1.等差数列求和公式： 2.等比数列求和公式：例1 已知，求的前n项和.解：由由等比数列求和公式得： = 1例2.设Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值.解：由等差数列求和公式得 ， 当 ，即n8时，.2. “整体值”的运用例3. 是等差数列，前10项的和为100，前100项的和为10，求前110项的和解析：运用等差数列的性质：若，则， 因此，点评：在运用公式求和时，已知可以求，但往往在不易求得这些值时，利用“整体值”求和十分有效，这种“整体值”的运用在后面的等比数列求和时也常用在等差数列中，若，则，特别地，3.奇数项和与偶数项和例
2、4.在等差数列中，共有项，求n解法一：由性质得，所以解得解法二：因为，又，所以解得点评：等差数列奇数项和与偶数项和的性质中，中间项对推导和记忆性质十分重要应用知识点：（1）项数为偶数的等差数列中，与为中间两项，（2）项数为的等差数列中，为中间项，4.连续几个项和例5 是等差数列，前10项的和为100，前100项的和为10，求前110项的和解析：是等差数列，易知也成等差数列，这个数列的首项又因为，求得这个数列的公差所以，所以，即点评：恰当地使用等差数列的性质往往事半功倍，出奇制胜当然这道题除了例1、例3介绍的两种方法，还可以运用方程的思想，列出方程组，进而求解，同学们不妨一试应用知识点：若为等差
3、数列，则也是等差数列5.两个数列前项和之比例6已知两个等差数列，的前项和分别为，且，求的值解：点评：从到的过渡，联想等差中项是关键应用知识点：若与均为等差数列，且前项和分别为与，则6.和的最大值与最小值例7在等差数列中，（1）若，前项和为，且，求当取何值时，最大，并求出此最大值；（2）若，该数列前多少项的和最小？解：（1）， 或最大，（2），等差数列为递增数列，由条件，不可能有，故，数列的前11项和最小点评：应用等差数列的性质，从通项来分析项的符号，是解决等差数列和的最值问题的简便方法，这比用前项和公式分析快捷应用知识点：在等差数列中，（1）若，数列为递减数列，必存在，使，最大，又若，这时同时
4、最大；若，数列为递增数列，必存在，使，最小，又若，这时同时最小（2）从前项和公式上分析，若为正整数，则为最大值，若是正分数，取离最近的整数，则最大7. 求数列的前项和 例8.已知数列的前项和，求数列的前项和解：，当时，当时，也适合上式，时，令，则， 时，；当时，（1）当时，；（2）当时， 故点评：对于带绝对值号的数列求和问题，应先弄清取什么值时，或，然后再求解本题应注意的是当时，也是一个等差数列应用知识点：在等差数列中，若，则从某项起，故数列的前项和；当，类似有8.等比数列求和中应注意的几个问题：1等比数列求和公式有两个，但这两个公式是各管一块，互不牵扯，所以在等比数列求和中就出现一个公式选择
5、的问题，这取决于公比还是.二非等差、等比数列求和（一）可转化为等差、等比数列求和.1. “合项”法是处理数列求和问题的一种重要方法，它利用加法的交换律和结合律将“不规则和”转化为“规则和”，化繁为简例1 已知数列的前项和求的值解析：采用相邻两项直接合并这里为偶数，点评：对于正负交替出现的数列求和，可考虑利用合项求和的方法，在使用合项求和时，要弄清求的是前多少项的和，如果是偶数项，两两合并，正好配对，若是奇数项，一般留首项，然后再合并.应用知识点：合项法求数列的前n项和.例2 若等差数列共有项，求证： （*）（分别为奇数项、偶数项的和）分析：，还可以留下最后一项，其余相邻两项合并证明：其实是数列
6、的前项的中项，所以上面（*）式，又可写成中，这是等差数列的一条性质，有着广泛的应用因此，同学们不仅要会用这种方法配对求和，还要熟练掌握这个常用结论点评：对于正负交替出现的数列求和，可考虑利用合项求和的方法，在使用合项求和时，要弄清求的是前多少项的和，如果是偶数项，两两合并，正好配对，若是奇数项，一般留首项，然后再合并.应用知识点：合项法求数列的前n项和.2. 拆项法例3求的前项和解：点评：拆项的目的是把非等差、等比数列的求和问题通过拆项转化为等差、 数列的求和问题.本题中若将数列改为“，”，则需要用错位相减法求其前项和应用知识点：拆项法求和.3.错位相减法例4.（2007山东卷17）设数列满足
7、，（）求数列的通项；（）设，求数列的前项和解：（），当时，-得，在中，令，得（）， -得即，点评：设是等差数列，是等比数列，对形如的数列，可以用错位相减法求和应用知识点：错位相减法转化求和式.4. 倒序相加法这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.例5. 求的值解：设. 将式右边反序得： 又因为 ，+得 ： 89 S44.5点评：倒序相加法，适用于倒序相加后产生相同的结果，方便求和.应用知识点：倒序相加法.（二）不可转化为等差（比）数列的数列求和1裂项相消法求和裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：例1. 求数列的前n项和.解：设，则 例2.在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.解： 数列bn的前n项和： 例3. 求证：解：设 原等式成立应用知识点：如果数列的通项具有如下形式，则可以利用裂项法求和： （1）；(如)（2）；（3）； （4）（5）（6）2其他方法例：求和：分析：所以其中和后面结合，恰为，以此类推，最终可得结果为.7
