《2020版高考理科数学人教版一轮复习讲义：第四章 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 Word版含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考理科数学人教版一轮复习讲义：第四章 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 Word版含答案（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章 三角函数、解三角形全国卷年考情图解高考命题规律把握1.从高考题型、题量来看，一般有两种方式：三个小题或一个小题另加一个解答题，分值上占17分左右2.客观题主要考查：三角函数的定义，图象与性质，同角三角函数关系，诱导公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知识3.难度较大的客观题，主要在知识点的交汇处命题，如向量与三角的结合、正、余弦定理与三角恒等变换的结合等，主要考查数形结合、转化与化归思想4.解答题涉及知识点较为综合涉及三角函数图象与性质、三角恒等变换与解三角形知识较为常见.第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转
2、到另一个位置所成的图形(2)分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角；按终边位置不同分为象限角和轴线角(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|2k，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角的弧度数公式|(l表示弧长)注意：(1)正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零(2)在一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式l|r扇形面积公式Slr|r23.任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
3、，那么sin y，cos x，tan (x0)(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线、余弦线和正切线.(3)三角函数值在各象限内的符号,(1)终边相同的角不一定相等(2)“锐角”不等同于“第一象限的角”，锐角的集合为|090，第一象限的角的集合为|k360k36090，kZ，小于90的角包括锐角、负角、零角(3)角的集合的表示形式不是唯一的，如.当角的终边与x轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角的正弦值和正切值都为0；当角的终边与y轴重合时，余弦线变成
4、一个点，正切线不存在，此时角的余弦值为0，正切值不存在 熟记常用结论1象限角2轴线角3若，则tan sin .小题查验基础一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)小于90的角是锐角()(2)锐角是第一象限角，反之亦然()(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等()(4)三角形的内角必是第一、二象限角()答案：(1)(2)(3)(4)二、选填题1下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck360315(kZ) Dk(kZ)解析：选C由定义知终边相同的角中不能同时出现角度和弧度，应为2k(kZ)或k36045(kZ)，结合选项知C正确2.若角2 r
5、ad(rad为弧度制单位)，则下列说法错误的是()A角为第二象限角 BCsin 0 Dsin cos 解析：选D对于A，角为第二象限角，故A正确；对于B，22 rad，故B正确；对于C，sin 0，故C正确；对于D，sin 0，cos 0，故D错误选D.3已知角的终边与单位圆的交点P，则tan ()A. BC. D解析：选B由|OP|2x21，得x.所以tan .故选B.4已知扇形的圆心角为60，其弧长为2，则此扇形的面积为_解析：设此扇形的半径为r，由题意得r2，所以r6，所以此扇形的面积为266.答案：65在0到2范围内，与角终边相同的角是_解析：与角终边相同的角是2k，kZ，令k1，可得
6、在0到2范围内与角终边相同的角是.答案：考点一象限角及终边相同的角基础自学过关 题组练透1设集合M，N，那么()AMNBMNCNM DMN解析：选B由于M中，x18045k9045(2k1)45，2k1是奇数；而N中，x18045k4545(k1)45，k1是整数，因此必有MN.2若角是第二象限角，则是()A第一象限角 B第二象限角C第一或第三象限角 D第二或第四象限角解析：选C是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角是第一或第三象限角3集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：选C当k2n(nZ)时，2n2n(nZ)，此时的终边和的
7、终边一样；当k2n1(nZ)时，2n2n(nZ)，此时的终边和的终边一样，结合选项知选C.4与2 010终边相同的最小正角是_解析：因为2 010(6)360150，所以150与2 010终边相同，又终边相同的两个角相差360的整数倍，所以在0360中只有150与2 010终边相同，故与2 010终边相同的最小正角是150.答案：1505终边在直线yx上，且在2，2)内的角的集合为_解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线yx，可以发现它与x轴的夹角是，在0,2)内，终边在直线yx上的角有两个：，；在2，0)内满足条件的角有两个：，故满足条件的角构成的集合为.答案：名师微点1判断象限角的2种方法
8、图象法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k360(0360，kZ)的形式，即找出与已知角终边相同的角，再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角2.确定k，(kN*)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角的范围；(2)再写出k或的范围；(3)然后根据k的可能取值讨论确定k或的终边所在的位置3求终边在某直线上角的4个步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出0,2内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；(4)求并集化简集合考点二扇形的弧长及面积公式的应用师生共研过关典例精析已知
9、扇形的圆心角是，半径是r，弧长为l.(1)若100，r2，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数解(1)因为100100，所以S扇形lrr24.(2)由题意知，l2r20，即l202r，故S扇形lr(202r)r(r5)225，当r5时，S的最大值为25，此时l10，则2.解题技法有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形过关训练1已知2弧度的圆心
10、角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A2Bsin 2C. D2sin 1解析：选C如图，AOB2弧度，过O点作OCAB于C，并延长OC交于D.则AODBOD1弧度，且ACAB1，在RtAOC中，AO，即r，从而的长lr.2若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A. B.C3 D.解析：选D如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角AOB，作OMAB，垂足为M，在RtAOM中，AOr，AOM，AMr，ABr，lr，由弧长公式得.3已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为()A2 B4C6 D8解析：选C设扇形的半
11、径为r(r0)，弧长为l，则由扇形面积公式可得2lr|r24r2，解得r1，l|r4，所以所求扇形的周长为2rl6.考点三三角函数的定义及应用师生共研过关典例精析(1)若sin tan 0，且0，则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角(2)(2019广州模拟)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，角，的终边分别与单位圆交于点和，则sin()()A B.C D.(3)已知角的终边经过点P(x，6)，且cos ，则_.解析(1)由sin tan 0可知sin ，tan 异号，则为第二象限角或第三象限角由0可知cos ，tan 异号，则为第三象限角或第四象限角综上可
12、知，为第三象限角(2)因为角，的终边分别与单位圆交于点和，所以sin ，cos ，sin ，cos ，所以sin()sin cos cos sin .(3)因为角的终边经过点P(x，6)，且cos ，所以cos ，解得x或x(舍去)，所以P，所以sin ，所以tan ，则.答案(1)C(2)D(3)解题技法利用三角函数定义解题的常见类型及方法(1)已知角终边上一点P的坐标求三角函数值先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数定义求解(2)已知角的终边与单位圆的交点坐标求三角函数值可直接根据三角函数线求解(3)已知角的终边所在的直线方程求三角函数值先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数定义求解相关问题，同时注意分类讨论(4)判断三角函数值的符号问题先判断角所在的象限，再根据各象限的符号规律判断过关训练1下列各选项中正确的是()Asin 3000 Bcos(305)0Ctan0 Dsin 100解析：选D30036060，则300是第四象限角，故sin 3000；30536055，则305是第一象限角，故cos(305)0；而8，所以是第二象限角，故tan0；因为310
