《课第08章03节向量的乘法运算（教育精品）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《课第08章03节向量的乘法运算（教育精品）（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3节向量的乘法运算3.1两向量的数量积设物体在常力的作用下沿直线从点移到点，用表示位移向量，力在位移方向上的分力大小为，则力所作的功为：图3.1我们把这种运算规则推广到一般向量如下定义3.1 设是两向量，且它们之间的夹角为，称数为向量与的数量积，并记作，即 (3.1)向量的数量积也称为（向量的）点积或（向量的）内积由此定义，力所做的功实际上是力与位移的数量积，即由于时,是在向量上的投影,故(3.1)可表示为类似地,时有这表明：若两向量至少有一非零向量,则它们的数量积等于其中非零向量的模与另一向量在此非零向量上的投影的乘积思考题：1如何用，表示？（。）由数量积的定义出发可推得以下结论:(1)；
2、证事实上，与的夹角， 故若向量，的夹角,则称向量与正交(或垂直).记作.(2)的充要条件是（垂直条件）；证当向量，中有一个为时,结论显然成立.不妨设，均非,则（而）（又）(3)(交换律)；事实上，(4)(分配律)；证当向量为时,结论显然成立.不妨设为非。根据向量投影的线性性， (5)(数乘向量的结合律) 证当向量，中有一个为时,结论显然成立.不妨设，均非。根据向量投影的线性性，思考题：2如果向量与任意向量都正交,则是一个怎样的向量? （零向量。）3对于三个标准向量，其中任一向量与另外两者之一的数量积等于何值？（0）又，它与自身的数量积等于何值？（1）以上是数量积的几何内容。下面把这些内容翻译成
3、坐标表示。由数量积的性质不难推导出用坐标计算数量积的表示式设，则 (3.2)（两向量的数量积等于对应坐标乘积加起来）事实上，有由数量积的定义, 若，则与之间的夹角满足 (3.3)若，则 (3.4)显然, 设向量,垂直条件又可以表示为的充分必要条件是【例3.1】 已知三点，和，求向量与之间的夹角解，而，故 .【例3.2】 设液体流过平面上面积为的一个区域，液体在该区域上各点处的流速均为常向量，设为垂直于的单位向量，计算单位时间内经过该区域流向所指向一侧的液体的质量 (设液体的密度为常数)图3.3解单位时间内流过区域的液体形成一个底面积为，斜高为的斜柱体，且斜高与底面垂线的夹角即为向量与之间的夹角
4、(图3.3)所以，该斜柱体的高为，即在上的投影,故斜柱体的体积为 ，从而，单位时间内经过区域流向所指一方的液体的质量为显然，若，即垂直于平面时，【例3.3】 设证明不等式(Cauchy-Schwarz不等式):.证设向量,由于,故将的坐标代入上式即得所要证明的不等式又,若平行,则上式成为等式思考题：4试用向量方法证明余弦定理并由此导出向量的数量积的坐标表示式.证 作如图3.3.1，则.注意到，图3.3.13.2 (测)两向量的向量积我们定义向量的另一种乘法运算定义3.2 设向量,规定向量与的向量积为一新的向量,记作，它的模与方向分别为(1) ， (2) 同时垂直于与,且,满足右手规则，即右手的
5、四个手指从的正向以不超过的转角转向的正向握拳时，大拇指的指向就是的方向.向量的向量积又常称作向量的叉积或外积不难看出,两向量的向量积有如下的几何意义:的模: 图3.5即模表示以与为边的平行四边形的面积(图3.5)的方向:由定义知,与和所确定的平面相垂直.由定义,容易推得,对任意向量,有；.此外,不作证明地给出向量积的如下运算律: 对任意向量,及任意实数，(1) (分配律),；(2)；(3) (数乘结合律)利用向量积的定义,我们还可得到两向量平行的另一个充分必要条件:设两向量,，则的充分必要条件是事实上，若,中有一个为零向量,则命题显然成立.若,均非零向量,由于等价于,即,又,故上式等价于,即或
6、,亦即.下面导出用坐标计算向量积的表示式：设，则有注意到,对于标准单位向量,有；，于是，有 (3.5)引入行列式记号,即有 (3.6)（二阶行列式。懂三阶行列式的同学记住（3.7）简单一些，懂二阶行列式的同学记住（3.6），不懂行列式的同学记住（3.5）。注意足标的排列规律！）或 (3.7)思考题：5试根据向量积的定义及坐标表示式导出两向量,的夹角公式.6试给出两向量平行的充分必要条件的坐标表示式,并与第2节中有关结论进行比较.【例3.4】 设是空间中过点，的直线,点是空间一点，试求点到直线的距离.解作向量.如图3.6所示，点到直线的距离是以为邻边的平行四边形的高.但因为表示该平行四边形的面积
7、,因此图3.6，,，故所求距离 *【例3.5】 设刚体以等角速度绕轴旋转,计算刚体上点的线速度.图3.7解刚体旋转时, 可用旋转轴上的向量表示角速度,它的大小,它的方向按右手法则定出:以右手握住轴,当四指的转动方向与刚体的转向一致时,竖起的大拇指的指向就是的方向(图3.7)设点到轴的距离为,任取轴上一点记为,并记, 若用表示与的夹角,则有.由物理学知识, 线速率与角速率有关系:，即，又注意到垂直于和,且,符合右手法则,因此得图3.8【例3.6】 试用向量方法证明正弦定理:设的三边长分别为,则.证作及向量，如图3.8所示，由,从而，即，故 .3.3 向量的混合积设有三个向量，与，则为一向量，因此
8、是一数量,于是我们可引入如下混合积的概念.定义3.3 设有三个向量，与，先作向量积，再作与的数量积，这样得到的数称为三向量，的混合积，记作或*现推导向量的混合积的坐标表示式设，则 (3.8)利用混合积的定义,不难得到: (3.9)计算混合积的方法：（1）先计算；（2）再计算。图3.9向量的混合积有明显的几何意义：对向量，,以，和为棱作平行六面体(图3.9),则是平行六面体的底面积,又垂直于，所在的底面,若以表示与的夹角, 则当时, 该平行六面体的高,于是,表示平行六面体的体积而当时，因此，表示以，,为棱的平行六面体的体积思考题：7试利用向量的混合积的几何意义给出三向量，共面的一个充要条件（三向
9、量，共面的充要条件：。）【例3.7】 求以点为顶点的四面体的体积.解由立体几何知识, 四面体的体积是以为相邻三棱的平行六面体体积的六分之一, 由向量的混合积的几何意义,即有由条件，易求得,于是故 *【例3.8】 证明二重向量积公式:证设，则,若记,则,类似地,还可证明,故习题83A类1. 设，求(1);(2);(3);(4);(5).2.设,求(1);(2);(3);(4).3.已知，求：(1) 同时与及垂直的单位向量；解 所求的单位向量有二：。(2) 的面积；(3) 从顶点到边的高的长度4.判断下列向量是否垂直:(1) 与;(2) 与;解 ，所以与垂直。(3) 与.5.设，试求的值，使得：(1) 与轴垂直；(2) 与垂直，并证明此时取得最小值解 。令得。记。令得在内唯一的极限值点。故，此时取得最小值6.证明如下的平行四边形法，说明这一法则的几何意义7.试证明：B类1.已知的夹角为,求.解 2.已知,求(1) ; (2) ; (3) 3.已知四点,求四面体的体积.*4.设向量满足，证明：(1) ；(2) *5.试证明：(1) ;(2) ;(3) .*6.用向量法证明：(1) 直径对的圆周角是直角；(2) 三角形的三条高交于一点
