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1、第一章 集合与函数概念知识网络 集合集合表示法集合的运算集合的关系列举法描述法图示法包含相等子集与真子集交集并集补集函数函数及其表示函数基本性质单调性与最值函数的概念函数的奇偶性函数的表示法映射映射的概念集合与函数概念第一讲 集合知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系：文字语言符号语言属于不属于4.常见集合的符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号或二： 集合间的基本关系 表示关系 文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同且子集A中任意一元素均
2、为B中的元素或真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一元素不是A的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，（）三：集合的基本运算两个集合的交集:= ;两个集合的并集: =;设全集是U,集合,则交并补方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。重难点：1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；
3、2集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如、等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误： 问题：已知集合（ ） A. ；B. ；C. ；D. (3)Venn图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn图。3集合间的关系的几个重要结论（1）空集是任何集合的子集，即（2）任何集合都是它本身的子集，即（3）子集、真子集都有传递性，即若，则4集合的运算性质（1）交集：；，；（2）并集：；，；（3）交、并、补集的关系；热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1：集合元素的基本特征例1（2008
4、年江西理）定义集合运算：设，则集合的所有元素之和为（ ）A0；B2；C3；D6题型2：集合间的基本关系例2数集与之的关系是（ ）A；B； C；D新题导练 1第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A=参加北京奥运会比赛的运动员，集合B=参加北京奥运会比赛的男运动员，集合C=参加北京奥运会比赛的女运动员，则下列关系正确的是（ ） A B. C. D. 2(2006山东改编）定义集合运算:,设集合,则集合的所有元素之和为 3(2007湖北改编）设和是两个集合，定义集合，如果P=(0,3)，,那么等于 4研究集合，之间的关系考点二：集合的基本运算 例3 设集合，（1） 若
5、，求实数的值；若，求实数的取值范围新题导练 7已知集合，那么集合为（ ）A.；B.；C.；D.8集合,且,求实数的值.备选例题1：已知，则中的元素个数是（ ）A. ；B. ；C.；D.无穷多个抢分频道UBA基础巩固训练：1 设全集, 则右图中阴影部分表示的集合为 ( )A；B；C；D3. 集合的所有非空子集个数为 4.（09年无锡市高三第一次月考）集合中的代表元素设为，集合中的代表元素设为，若且，则与的关系是 解析 或；由子集和交集的定义即可得到结论5(2008年天津)设集合，则的取值范围是（ ）A；B C或；D或解析A；，所以，从而得综合提高训练：6,则下列关系中立的是( ) A; B;C;
6、D解析A；当时，有，即；当时，也恒成立，故，所以7.设，记，则( )A. ; B.; C. ; D. 解析 A；依题意得，所以，故应选A8（09届惠州第一次调研考）设A、B是非空集合，定义，已知A=，B=，则AB等于（ ）A；B；C；D解析D；，A=0，2，B=（1，），AB=0, ），AB=（1，2，则AB第2讲 函数与映射的概念知识梳理1函数的概念(1)函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为(2)函数的定义域、值域在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫
7、做函数值，函数值的集合称为函数的值域。(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则2映射的概念设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数的定义域为，求的定义域误解因为函数的定义域为，所以，从而故的定义域是正解因为的定义域为，所以在函数中，从而，故的定义域是即本题的实质是求中的范围问题2：已
8、知的定义域是，求函数的定义域误解因为函数的定义域是，所以得到，从而，所以函数的定义域是正解因为函数的定义域是，则，从而所以函数的定义域是即本题的实质是由求的范围即与中含义不同2 求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数，可变为解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数就是利用函数和的值域来求。（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域由得，若，则得，所以是函数值域中的一个值；若，则由得，故所求值域是（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数的值域，因为，而，所以，故（5
9、）利用基本不等式求值域：如求函数的值域当时，；当时，若，则若，则，从而得所求值域是（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数的值域因，故函数在上递减、在上递增、在上递减、在上递增，从而可得所求值域为（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。热点考点题型探析考点一：判断两函数是否为同一个函数例1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1），；（2），（3），（nN*）；（4），；（5），解题思路要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。解析 （1）由于，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.（2）由于函
10、数的定义域为，而的定义域为R，所以它们不是同一函数.（3）由于当nN*时，2n1为奇数，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）由于函数的定义域为，而的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.答案（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f不
11、变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如，都可视为同一函数.新题导练 1(2009佛山) 下列函数中与函数相同的是( )A .y = ()2 ; B. y = ; C. y = ; D. y=解析 B；因为y = ，所以应选择B2(09年重庆南开中学)与函数的图象相同的函数是 （ ）A.；B.；C.； D.解析 C；根据对数恒等式得，且函数的定义域为，故应选择C考点二：求函数的定义域、值域题型1：求有解析式的函数的定义域例2.（08年湖北）函数的定义域为( )A.;B.；C. ;D. 解题思路函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。解析欲使函数有意义，必
12、须并且只需，故应选择 【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：分母不能为0； 对数的真数必须为正；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于0；负分数指数幂中，底数应大于0；若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。题型2：求抽象函数的定义域例3（2006湖北）设，则的定义域为（ ）A. ；B. ；C. ；D. 解题思路要求复合函数的定义域，应先求的定义域。解析由得，的定义域为，故解得。故的定
13、义域为.选B.【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数的定义为，则函数的定义域是满足不等式的x的取值范围；一般地，若函数的定义域是，指的是，要求的定义域就是时的值域。题型3；求函数的值域例4已知函数，若恒成立，求的值域解题思路应先由已知条件确定取值范围，然后再将中的绝对值化去之后求值域解析依题意，恒成立，则，解得，所以，从而，所以的值域是【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。新题导练 3.（2008安徽文、理）函数的定义域为 解析 ；由解得4定义在上的函数的值域为，则函数的值域为( )A；B；C；D无法确定 解析 B；函数的图象可以视为函数的图象向右平移一个单位而得到，所以，它们的值域是一样的5(2008江西改) 若函数的定义域是，则函数的定义域是 解析 ；因为的定义域为，所以对，但故6(2008江西理改)若函数的值域是，则函数的值域是
