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1、动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目解决这类问题的关键是动中求静 ，灵活运用有关数学知识解决问题 关键：动中求静数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图 1,梯形 ABCD 中，AD / BC,/ B=90 , AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点 P 从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动， 如果P, Q分别从A , C同时出发，设移动时间为t秒。当t=时，四边形是平行四边形；6当t=时，四边形是等腰梯形 8图1#图1#2、如图2,正方形ABCD的边长为4
2、,点M在边DC上，且DM=1 , N为对角线AC上任意一点，则 DN+MN的最小值为 53、如图，在 RtA ABC 中，N ACB=90, Z B = 60, BC=2 点 是 AC 的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D 过点C作CE / AB交直线I于点E，设直线I的旋转角为?图1#图1#(1)当:度时,四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为度时,四边形EDBC是直角梯形，此时 AD的长为(2)当- =90时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由.解：(1 30, 1 : 60, 1.5;(2)当/ a =90时，四边形 EDBC是菱形./
3、 a =/ACB=90 0,. BC/ED. T CE/AB,二四边形 EDBC 是平行四边形 在 Rt ABC 中，/ ACB=900,/ B=600,BC=2, /./ A=300.B厂AC 厂 AB=4,AC=2AO= 2 八3 在 Rt AOD 中，/ BD=2. BD=BC. 又四边形 EDBC是平行四边形，四边形EDBC是菱形4、在 ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC，直线 MN 经过点 C,B图1#(1) 当直线 MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ADC CEB ，DE=AD + BE ;当直线 MN绕点C旋转到图2的位置时，求证： DE=AD-BE ;当直线MN绕
4、点C旋转到图3的位置时，试问 DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量 关系，并加以证明解：(1 / ACD= / ACB=90 / CAD+ / ACD=90 /-Z BCE+ / ACD=90/ CAD= Z BCE / AC=BCADC CEB/ ADC CEB CE=AD , CD=BE DE=CE+CD=AD+BE(2) tZ ADC= Z CEB= Z ACB=90ACD= Z CBE又 : AC=BCACD CBE CE=AD , CD=BE DE=CE-CD=AD-BE(3) 当 MN 旋转至U图 3 的位置时，DE=BE-AD(或 AD=BE-DE , BE=AD+
5、DE 等)/Z ADC= Z CEB= Z ACB=90 /Z ACD= Z CBE , 又 : AC=BC ,ACD CBE , AD=CE , CD=BE , DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题：如图1,四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点.AEF =90：,且EF交正方形外角.DCG的平行线CF于点F,求证：AE=EF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AME ECF，所以 AE =EF .在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1 )小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点 E是边BC上(除B, C外)的任意 一点”，其它条件不变，
6、那么结论“ AE=EF仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明 过程；如果不正确，请说明理由；(2)小华提出：如图3，点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF 仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程； 解：(1)正确.证明：在 AB上取一点M，使AM二EC，连接ME .二 BM =BE . aZ BME=45 二N AME =135。. :CF 是外角平分线，二 乂 DCF =45。，:上 ECF =135.AME ECF .TNAEB+NBAE =90。，AEB+NCEF =90。，BAE - CEF . AME BCF (AS
7、A).(2)正确. 证明：在BA的延长线上取一点 N .使AN =CE，BN 二 BE . N = PCE =45。.；四边形ABCD是正方形，.AD II BE .DAE BEA .NAECEF. ANEECF (ASA).AE 二 EF .AB的中点 M连接 ME贝U AM=EC,易证如果不正确，请说明理由.ODGB E C 图1图33,动点P从M沿射线6、如图，射线MB上,MB=9,A是射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设 P的运动时间为t.求(PAB为等腰三角形的t值；(2) PAB为直角三角形的t值；(3) 若AB=5且Z ABM=45 ，其他条件不变，直接写出PAB为直角三角形
8、的t值MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为#AMC(P) BBp#7、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD / BC , E是AB的中点，过点E作EF / BC交CD于点F . AB 二 4, BC =6 , / B = 60 .求：（i）求点 E 到 BC 的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM _EF交BC于点M，过M作MN / AB交折线ADC 于点N，连结PN，设EP二X.当点N在线段AD上时（如图2）, PN 的形状是否发生改变？若不变，求出 PMN的周长；若改变，请说明理由； 当点N在线段DC上时（如图3）,是否存在点P，使 PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有
9、 满足要求的x的值；若不存在，请说明理由#解（1）如图1,过点E作EG _ BC于点G.BE =丄 AB = 2./ E为AB的中点，2#在 RtAEBG 中，/ B=60:丄 BEG =30BG 中一1, E .k-G#nG图1图2则 NH =MN MH =4一？ =5.2 2在 RtAPNH 中，PN 二.NH2 PH2图3图4GM图5当MP二MN时，如图4，这时MC =MN =MP 此时,x = EP=GM =6-1-、3 =5 - “3.即点E到BC的距离为-、3.(2)当点N在线段AD上运动时， PMN的形状不发生改变./ PM _EF，EG _EF，/ PM / EG. EF /
10、BC,二 EP = GM , PM 二 EG 二、3.同理 MN = AB 二 4.如图2,过点P作PH _ MN于H，: MN / AB,1 /3/ NMC 二/ B =60，/ PMH =30 . 二 PH PM=-2 2 MH 二 PMbcos30 =3. PMN 的周长=PM PN MN = .3、_7 4.当点N在线段DC上运动时， PMN的形状发生改变，但 MNC恒为等边三角形. 当PM =PN时，如图3，作PR_MN于R，则MR =NR.3类似，MR . MN=2MR=3./ MNC 是等边三角形， MC=MN=3.2此时，x = EP 二 GM 二 BC -BG -MC =6-
11、1-3 = 2.当 NP 二 NM 时，如图 5，/ NPM =Z PMN =30 . 则/ PMN =120，又/ MNC = 60， / PNM - Z MNC =180 . 因此点P与F重合， PMC为直角三角形.- MC 二 PMLlan30 =1. 此时，x 二 EP 二 GM =6-1 一1 = 4.综上所述，当x=2或4或5-.3时， PMN为等腰三角形.8、如图，已知AABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点.(1)如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点 运动 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过
12、1秒后， BPD与 CQP是否全等，请说明理由； 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使 BPD与 CQP全等？(2)若点Q以中的运动速度从点 C出发，点P以原来的运动速度从点 B同时出发，都逆时针沿 ABC三边运动，求经过多长时间点 P与点Q第一次在 ABC的哪条边上相遇？解: (1 ：t =1 秒，BP 二CQ =3 1=3厘米，AB=10厘米，点D为AB的中点， BD=5厘米.又PC=BCBP, BC =8厘米，PC =8 3 = 5厘米，PC = BD又 AB = AC厶B =NC BPD CQPvp =Vq , . BP =CQ ,又 BPD CQP
13、 , . B =/C，则 BP 二 PC = 4, CQ 二 BD = 5BP 4t =点P,点Q运动的时间3 3秒，(2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇,CQ515=Qt443厘米/秒。1580x = 3x 2 10x =由题意，得4，解得3秒803 =80点P共运动了厘米. 80 = 2 28,24,.点P、点Q在AB边上相遇,80经过3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇.9、如图所示，在菱形ABCD 中, AB=4, / BAD=120 AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边 BC. CD 上滑动，且 E、F不与B. C. D重合.(1 )证明不论 E、F在BC. CD上如何滑动，总有 BE=CF ;(2)当点E、F在BC . CD上滑动时，分别探讨四边形 AECF和厶CEF的面积是否发生变化？如果不 变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值.#【答案】解：（1）证明：如图，连接 AC四边形 ABCD为菱形，/ BAD=120 ,/ BAE+Z EAC=60 ,
