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1、三维面型的测量及误差分析摘 要：（目的）传统的三平面互检法仅能得到三个平面纵向的面型，ZYGO干涉仪自带的three-flats软件也仅能实现纵向和横向的面型，本文旨在对一种基于ZYGO干涉仪能实现整个平面的三维面型测量的改进三平面互检法研究。(方法)本研究以传统三平面互检法为基础，结合三平面互检法过程中的几个重要观点以及近似算法理论，采用了一种改进的三平面互检法。（结果）通过使用MATLAB程序对这种法进行拟合得到的三个平面的三维面型与ZYGO干涉仪中three-flats直接测得的三个平面纵向面型的测量结果进行比较，结果PV值误差在0.001以内。（结论）这种几乎一致的结果也验证这种改进的
2、三平面互检方法是有效的。关键词：干涉测量；绝对检验；三平面互检；方位角平均算法引言（研究的重要意义）目前用于高精度光学平面面型检测的方法主要是干涉法，但是用干涉法测量高精度的平面时需要一个更高精度的平面作为参考面，因此在高精度光学平面的面型检测中需要引入一个绝对检验的概念。因为用干涉法进行测量时干涉仪的系统误差（绝大部分来自参考平面的误差）将以相同大小的测量误差引入到测量结果中，绝对检验就是一种能够实现将系统误差从测量结果中分离的方法。三平面互检法是一种重要的用于高精度光学平面绝对检验的干涉测量方法，它是对三个待测平面两两组合进行测量，得到三个平面各自的面型信息。（前人研究进展）传统的三平面互
3、检法仅能得到三个平面纵向的面型，现在国内外研究中也可以实现纵向和横向的面型，对实现整个平面的三维面型的测量还不是很成熟。（研究的切入点）本研究旨在利用ZYGO干涉仪实现对三维面型测量的三平面互检法的研究与测试。（研究拟解决的关键问题）因此有必要进行进一步研究，在传统三平面互检法的基础上结合三平面互检发展过程中的平面对称观点、平面旋转对称观点、奇偶函数观点以及N位平均的近似算法等理论，采用一种改进的三平面互检法来实现我们的测量要求。1. 传统三平面互检法基本原理斐索干涉仪通常用于高精度的面型测量，参考面与测试面的位置如图（1）中和所示。干涉仪的光源发出一条准直光束到参考面，其中一部分光束被反射，
4、另一部分被透射。被透射的光束的一部分被测试面反射回来，与反射光束叠加后成像在探测器上。这样测试面相对于参考面的面型和波前就可以被测量。图（1） 斐索干涉仪示意图如图（1）所示，在标明了坐标轴的坐标系中用参考面和测试面来描述面型和波前，同时假设参考面和测试面都是直径为d的圆并且坐标系的原点在平面的中心位置，即。干涉仪测得的合并后的波前为： (1)其中表示参考面反射的波前，表示测试面反射的波前，中的负号是指参考面相对于测试面沿Y轴进行了一次翻转。在斐索干涉仪中面型和波前仅可以进行两两测量，三平面互检法就是通过对三个平面分别进行两两测量，来判定每个平面的面型。不管进行测量的平面次序如何，总存在有一个
5、平面作为参考面，另一个平面作为测试面。本文中规定在一组测量中如BA，第一个字母代表的是参考面，第二个字母代表的是测试面。三个平面A、B、C按照图（2）所示（BA，CA，CB）的次序依次进行测量。图（2） 传统三平面互检法测量次序则有： (2)其中：、和是平面两两组合的波前，和是平面A和B反射的波前， 和是平面B和C沿Y轴翻转后反射的波前。这种方法只能得到x=0时，Y轴方向的面型： (3)由上可知，这种测量是不充分的,不能得到我们所需要的整个平面的三维面型。本文通过添加一组额外的测量来寻求对这个问题的最佳解决方案。2. 三平面互检法发展过程中的几个重要观点经过过去几十年的研究，几个重要观点的出现
6、推动了三平面互检法的发展。包括平面对称观点，旋转对称观点（方位角平均），奇偶函数观点等，他们的共同点就是将原有波前分成两个或两个以上具有特殊要求的波前。2.1 平面对称观点此观点是将公式（1）中的波前分成对称运算（关于Y轴）中的对称不变部分和对称变化部分，所以有： (4)其中：,用这种观点可以将公式（2）的变化量进行相应的分解，从而可以对原公式进行相应的简化。2.2 旋转对称观点此观点引入之前，需要对方位角平均和N位平均求近似值的概念进行简单的介绍。对于极坐标中的波前，定义一个算子和一个函数为： （5）其中叫做方位角平均算子，是的方位角平均值，与角度无关，它是旋转不变的。从公式（5）中可以得到
7、： （6）我们把的旋转变化量定义为，则每一个波前都可以写成一个旋转不变量与一个旋转变化量之和： （7）对公式（7）中的方位角平均值中的积分进行一个求和的近似。所以公式（5）中的积分可以写成： (8)其中引入角的常数增量，计算方法是通过对波前进行N次旋转角度计算平均值，是一个N位平均的概念。2.3 奇偶函数观点奇偶函数观点有两种不同的表述，它们是相互联系的，相互转化。在本文中用到第一种表述，故只对这种表述简单介绍如下：当波前函数且时，函数就可以简化为关于Y轴对称的函数。因此波前可以化简为两部分：关于Y轴对称部分和关于Y轴不对称部分。对于波前函数，我们定义一个翻转算子： (9)所以可以在这个基础上
8、定义两个函数和： (10)显然每一个都可以写成一个偶（对称）分量和奇（反对称）分量之和： (11)3. 改进的三平面互检法测量研究在使用三平面互检法测量过程中，原始的测量次序（BA, CA, CB）只能得到Y轴截面方向的面型是不充分的，在第2节中已得到证明。为了实现对整个平面的三维面型的测量，在传统的三平面互检法的基础上，结合三平面互检法的平面对称观点、平面旋转对称观点、奇偶函数观点以及N位平均的近似算法等理论进行推导，采用一种改进的三平面互检法。改进的三平面互检法是在传统方法测量次序的基础上再增加一组测量来实现对整个平面的三维面型的测量。如图（3）所示，引入旋转对称观点，改进后的测量次序是在
9、原始测量次序的基础上增加一次一个平面与另一个平面相对旋转一周的测量（BA, ,CA, CB）。图（3） 改进后的三平面互检法测量次序其中在测量时参考面B与测试面A相对旋转一周时，由第3节可知，其可以通过公式（8）中的N位平均求得近似值。对于图（3）中的的测量可以通过测试面A相对于参考面B的方位角平均来实现，其中A旋转N-1次，每次旋转角度为，这就是我们渴望得到的相对于平面A与平面B相对旋转一周的测量结果，从而可以消除了中平面A中的旋转变化因子： (12)其中旋转算子是指旋转的角度为。将平面测量公式应用于图（3）所示的改进的测量次序可得： (13)引入平面对称观点和奇偶函数观点参照公式（11），
10、可以将公式（13）中的波前向量部分分解成偶分量和奇分量两部分，进行推导化简可分别得到： （14）对三个波前的偶分量和奇分量进行叠加就可以得到三个平面的面型公式： （15）公式（15）的结果就是我们渴望得到的三平面互检方法的一种最佳解决方案。在图（3）中第1、3、4次测量（BA,CA, CB）是比较容易实现的，可以通过ZYGO干涉仪的直接测量得到。但是第2次测量（）是需要我们设计一种测量方案来实现的。在解决这个问题时，从公式（8）中我们可以得到一种测量方案通过N次测量旋转测试面相对角度得到（）的测量结果。在本文中拟采用的测量方法为在三次原始测量次序的基础上增加7次旋转测量（应为8次，其中一次与原
11、始测量次序中的一次测量重合）为： ，从而实现本文中改进的三平面互检法的测量方案。4. 实验比对与误差分析需要指出在数据处理过程中，使用matlab直接读取ZYGO干涉仪GPI测量得到的实验数据（.xyz格式的文件），得到的矩阵（或三维图形）存在一个倾斜量，而倾斜量在运算过程中是必须去除的，所以对每次测量的原始数据都应用zernike多项式进行了去倾斜的拟合后才进行运算处理。因此最终得到的结果也是一个拟合后的图形。对三个平面A、B、C按照第4节中改进的测量次序进行测量并进行数据处理后可得到三个平面A、B、C的三维面型，如图（4）所示（从左向右依次平面A、B、C）：图（4） 平面A、B、C三维面型
12、用ZYGO干涉仪中three-flats直接测量三个平面A、B、C可以得到各平面在X轴、Y轴截面的测量结果。分别令平面A、B、C的三维面型函数式中可以得到平面A、B、C各自在Y轴方向截面的面型，与利用ZYGO干涉仪three-flats直接测得的结果进行比对，平面A、B、C在Y轴方向上两次测量结果比对如图（5）所示（从上到下依次为平面A、B、C；从左向右依次Y轴方向截面面型用three-flats测量的结果和用改进方法测量的拟合结果）。结果比对基本重合（改进方法测量的拟合结果的Y轴零点取在曲线最小值位置，因而与three-flats测量结果的图像显示效果有所不同）。两组曲线的趋势相同，对于平面
13、A在Y轴方向截面面型ZYGO干涉仪three-flats测量结果PV值为0.21，改进方法测量结果PV值约为0.22；平面B的两次测量结果PV值依次为0.029和0.030；平面C的两次测量结果PV值依次为0.020和0.020。两种方法测量结果的PV值偏差也在0.001以内。但是还不能达到完全重合，分析其误差存在的原因，主要包括实验操作过程中引入的误差和数据处理中引入的误差。对于第一种误差，主要是由于手动调节不能得到精确的旋转角度，从而引入误差；另外，每次测量中记录干涉条纹的位置也会有微小的偏移量。对于第二种误差，方位角平均的处理方法本身是一个近似处理的过程，不可避免的对最终处理结果引入了误
14、差；对面型信息的拟合处理会在最终的处理结果中引入了一定的误差。为了同时从上述两方面减小测量结果中的误差，可以从增加对测量的测量次数和完善数据处理的程序来实现。在增加对测量次数方面，现在是通过8次测量来实现对的测量，在实验设备精度允许的情况下，将测量次数增加到16次、32次、64次甚至更多；在完善数据处理程序中，将偏移量和一些影响因素都考虑进去，这样就能进一步提高测量精度。图（5） 平面A、B、C在Y轴方向截面的面型比对5. 结论本文通过理论分析对三平面互检法进行了深入研究，并且通过具体的实验获得的测量结果与设计实验结果进行比对和误差分析，验证了本文采用的这种改进的三平面互检法的准确性和可行性。并且这种方法将会为干涉法测量高精度面型技术的发展提供有力的支持。参考文献：1 刘中本,权贵秦,田爱玲.光干涉测试技术M.西安:陕西人民出版社.2002:3
