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1、福建师范大学22春近世代数综合作业一答案参考1. f&39;(x0)=0，f&39;&39;(x0)0是函数f(x)在点x=x0处有极值的( )。 A必要条件 B充分条件 C充要条件f(x0)=0，f(x0)0是函数f(x)在点x=x0处有极值的()。A必要条件B充分条件C充要条件D无关条件B2. 求微分方程y&39;&39;y&39;2y=8sin2x的通解。求微分方程y+y-2y=8sin2x的通解。3. 设函数f(x)在点x0处连续，且=2，则f(x0)=_设函数f(x)在点x0处连续，且=2，则f(x0)=_24. 一立体的底面为直线3x+4y=12与坐标轴所围成的三角形，它的每一个垂
2、直于x轴的截面为半圆求该立体的体积一立体的底面为直线3x+4y=12与坐标轴所围成的三角形，它的每一个垂直于x轴的截面为半圆求该立体的体积由已知条件，该底面三角形可表示为，0x4，并且对于区间0，4上的任一x，线段就是半圆的直径，因此垂直于x轴的该半圆面积为 从而该立体的体积为 5. 调查表是调查方案的核心部分，它是容纳_，搜集原始资料的基本工具。调查表是调查方案的核心部分，它是容纳_，搜集原始资料的基本工具。调查项目6. 在一个班级的50名学生中，有21名在高等数学考试中取得了优秀成绩，有26名学生在线性代数考试中取得了优秀成绩在一个班级的50名学生中，有21名在高等数学考试中取得了优秀成绩
3、，有26名学生在线性代数考试中取得了优秀成绩，假如有17名学生在此两科考试中都没有取得优秀成绩，问有多少名学生在两科考试中都取得了优秀成绩?并试用文氏图画出结果设在高等数学考试中取得优秀成绩的学生为集合A，在线性代数考试中取得优秀成绩的学生为集合B，根据题意，有 |AB|=50-17=33 根据容斥原理 |AB|=|A|+|B|-|AB| |AB|=|A|+|B|-|AB|=21+26-33=14 故在两科考试中都取得优秀成绩的学生人数为14人，文氏图如下： 7. 对事件A，B，说明下列关系式相互等价： (1); (2) (3)A+B=B; (4)AB=A; (5)对事件A，B，说明下列关系式
4、相互等价：(1);(2)(3)A+B=B;(4)AB=A;(5)用文氏图表示事件A，B的关系即可看出(1)、(3)、(4)、(5)是相互等价的，即 又有 于是可得(2)与(1)、(3)、(4)、(5)也是相互等价的。 8. 方程y-4y&39;+5y=e2x(cosx+3sinx)的特解形式为y&39;=_；方程y-4y+5y=e2x(cosx+3sinx)的特解形式为y=_；xe2x(Ccosx+Dsinx)9. 已知向量组1(1，2，1，1)，2(2，0，t，0)，3(0，4，5，2)的秩为2，则t_已知向量组1(1，2，1，1)，2(2，0，t，0)，3(0，4，5，2)的秩为2，则t_
5、正确答案：应填3分析向量组的秩小于向量的个数时，可用行列式为0或初等行变换来讨论详解1由于r(1，2，3)2，则矩阵的任一个三阶子阵的行列式的值为零，即解得t3详解2r(1，2，3)2t25，即t3评注反求参数，一般均可联想到某行列式为零，但初等行变换对于具体的向量组始终是一个有力的工具10. 试以“佐恩引理”定理作为出发点，来证明“策莫罗选择公理”定理试以“佐恩引理”定理作为出发点，来证明“策莫罗选择公理”定理设X=A(A中各集两两互不相交)，为含于X中且与每个A至多有一个公共元的集所成的类 =B:BX且与每个A至多有一公共元显然按包含的关系成一非空半序集再令的任一非空全序子集，E0=E(E
6、)，下证E0 E0X则x1，x2E2，即E2与中某个A有两个公共元，这与E2相矛盾，因此E0与中每个元至多有一公共元，从而E0为的上确界。根据佐恩引理，有极大元，设为M。 现在证明M与每个A必有一个公共元。如若不然，则有某个A，使取A，因中各集互不相交，知M与每个A至多有一公共元，故M，且以M为真子集，这与M是的极大元矛盾了。 综上知，M与每个A有且仅有一个公共元a。对于每个A，令f(A)=a，则f就是所求的映射， 11. 用来表明同类现象在不同空间、不同时间、实际与计划对比变动情况的相对数称_指数。用来表明同类现象在不同空间、不同时间、实际与计划对比变动情况的相对数称_指数。广义12. 求曲
7、面M：z=axy(a0)上两坐标曲线x=x0与y=y0之间的夹角求曲面M：z=axy(a0)上两坐标曲线x=x0与y=y0之间的夹角正确答案：解设曲面M的参数表示为x(xy)=(xyaxy)则xx=(10ay) xy=(01ax)E=xx.xx=1+a2y2 G=xy.xy=1+a2x2F=xx.xy=a2xy第1基本形式为I=Edx2+2Fdxdy+Gdy2=(1+a2y2)dx2+2a2xy dxdy+(1+(a2x2)dy2设坐标曲线x=x0的方向为(01)y=y0的方向(10)则两坐标曲线x=x0与y=y0的夹角的余弦为rn故rn解设曲面M的参数表示为x(x,y)=(x,y,axy),
8、则xx=(1,0,ay),xy=(0,1,ax),E=xx.xx=1+a2y2,G=xy.xy=1+a2x2,F=xx.xy=a2xy第1基本形式为I=Edx2+2Fdxdy+Gdy2=(1+a2y2)dx2+2a2xydxdy+(1+(a2x2)dy2设坐标曲线x=x0的方向为(0,1),y=y0的方向(1,0),则两坐标曲线x=x0与y=y0的夹角的余弦为故13. 求微分方程y&39;&39;+y=2sin3x的通解。求微分方程y+y=2sin3x的通解。(1)先求对应齐次方程的通解。 由于对应齐次方程的特征方程r2+1=0的特征根为r1,2=i，则对应齐次方程y+y=0的通解为Y=C1c
9、osx+C2sinx (2)再求该方程的一个特解。 因为自由项f(x)=2sin3x为Pm(x)exsinx型函数，为求该方程的一个特解，先求方程y+y=2e3ix的一个特解。 由于i=3i不是特征根。故其特解可设为y*=ae3ix。把它代入方程y+y=2e3ix并消去e3ix，得，即y+y=2e3ix的一个特解为 取其虚部就得到题设方程的一个特解为。因此题设方程的通解为 14. 设一球面过点M(1，2，3)且与各坐标面相切，求此球面方程设一球面过点M(1，2，3)且与各坐标面相切，求此球面方程正确答案：因为点M(123)在第一卦限所以球面一定在第一卦限rn 设球面方程(因为与坐标面相切)为：
10、(xa)2(ya)2(za)2a2a0rn 又由于点M(123)在球面上故满足球面方程：(1a)2(2a)2(3a)2a2rn因为点M(1,2,3)在第一卦限,所以球面一定在第一卦限设球面方程(因为与坐标面相切)为：(xa)2(ya)2(za)2a2,a0又由于点M(1,2,3)在球面上,故满足球面方程：(1a)2(2a)2(3a)2a215. 写出下列线性规划问题的对偶问题： max f=-17x2+83x4-8x5， s.t.-x1-13x2+45x3+16x5-7x6107, 3x3-18x4+30写出下列线性规划问题的对偶问题：max f=-17x2+83x4-8x5，s.t.-x1-
11、13x2+45x3+16x5-7x6107,3x3-18x4+30x781，4x1-5x3+x6=-13,-10x1-2,-3x217,x316,x40,x5无符号限制，x60，x70按规则写出对偶问题后稍加简化可得 max st (i=2,4,5,6,7,8) 16. 设y1(x)，y2(x)均为方程 yP(x)yQ(x)的解，并且y(x)y2(x)试写出此方程的通解设y1(x)，y2(x)均为方程 yP(x)yQ(x)的解，并且y(x)y2(x)试写出此方程的通解正确答案：因为y1(x)y2(x)均为方程yP(x)yQ(x)的解所以y1(x)y2(x)为对应齐次方程yP(x)y0的解从而
12、ycy1(x)y2(x)为齐次方程的通解其中C为任意常数rn 因此yP(x)yQ(x)的通解为 ycy1(x)一y2(x)y1(x)因为y1(x),y2(x)均为方程yP(x)yQ(x)的解,所以y1(x)y2(x)为对应齐次方程yP(x)y0的解从而ycy1(x)y2(x)为齐次方程的通解,其中C为任意常数因此,yP(x)yQ(x)的通解为ycy1(x)一y2(x)y1(x)17. 设f(xy，xy)=x2xy，试求f(x，y)设f(x+y，x-y)=x2-xy，试求f(x，y)18. 函数y=x2+4x-5在区间(-6+6)内满足( ) A先单调下降再单调上升 B单调下降 C先单调上升再单
13、调下降 D函数y=x2+4x-5在区间(-6+6)内满足()A先单调下降再单调上升B单调下降C先单调上升再单调下降D单调上升A19. 设A，B为集合，证明：(AB)(A-B)=A(方法不限)设A，B为集合，证明：(AB)(A-B)=A(方法不限)可用多种方法证明本题 方法1 直接证明法(用集合演算证明) (AB)(A-B) =(AB)(AB) (补交转换律) =A(BB) (分配律) =AE (E为全集、排中律) =A (同一律) 方法2 直接证明法(用定义证明) x(AB)(A-B) (分配律) (排中律) (同一律) 所以，(AB)(A-B)=A 方法3 使用归谬法(反证法) 否则，(AB)(A-B)A，则，使得 记为“情况1” 或者，使得 记为“情况2” 在情况1下： 这是个矛盾式
