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1、附1:用LINGO求解线性规划的例子一奶制品加工厂用牛奶生产 A 1、A 2两种奶制品， 1桶牛奶可以在设备甲上用 12小时加工成 3 公斤 A1， 或者在设备乙上用 8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的 Ai、A2能全部售出，且每公斤 Ai获利 24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到 50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为 480 小时，并且设备甲每天至多能加工 100公斤Ai，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3 个附加问题：1 ）若用 35 元可以购买到 1 桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶
2、？2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？3）由于市场需求变化，每公斤 Ai的获利增加到30元，应否改变生产计划？数学模型：设每天用Xi桶牛奶生产A1，用X2桶牛奶生产 A2目标函数：设每天获利为z元。Xi桶牛奶可生产3xi公斤A1，获利24*3xi, x?桶牛奶可生产4*x?公 斤 A2 ，获利 16*4X 2，故 z=72X1+64X 2约束条件：原料供应：生产 Ai、A2的原料（牛奶）总量不超过每天的供应50桶，即Xi+X2 50劳动时间：生产 A. A2的总加工时间不超过每天正式工人总的劳动时间480小时，即i2x 1+8X2W 480设备能力： Ai
3、 的产量不得超过设备甲每天的加工能力i00 小时，即3xi x2均不能为负值，即 xi 0, X2 0综上所述可得max z=72xi+64x2s.t.xi+x2 5012xi+8x2 w 4803xi 0, X20显然，目标函数和约束条件都是线性的，这是一个线性规划（LP）,求出的最优解将给出使净利润最大的生产计划，要讨论的问题需要考虑参数的变化对最优解和影响，一般称为敏感性（或灵敏度）分析。LINGO 求解线性规划用 LINGO 求解线性规划时，首先在 LINGO 软件的模型窗口输入一个 LP 模型，模型以 MAX 或 MIN 开始，按线性规划问题的自然形式输入（见下面例子所示） 。以下解
4、加工奶制品的生产计划问题：由于 LINGO 中已假设所有的变量都是非负的，所以非负约束条件不必输入； LINGO 也不区分变量中 的大小写字符（实际上任何小写字符将被转换为大写字符）；约束条件中的“ =”及“ =”可用“”及”代替。在 LINGO 模型窗口输入如下：max=72*x1+64*x2;x1+x2=50;12*x1 +8*x2=480;3*x1=100;用鼠标单击菜单中的求解命令（ Solve ）就可以得到解答，结果窗口显示如下：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1)VARIABLEX1X2ROW2)3)4)NO.
5、ITERATIONS=3360.000VALUE20.00000030.000000SLACK OR SURPLUS0.0000000.00000040.0000002REDUCED COST0.0000000.000000DUAL PRICES 48.000000 2.000000 0.000000计算结果表明：“LP OPTIMUM FOUND AT STEP2 ”表示单纯形法在两次迭代（旋转）后得到最优解。“ OBJECTIVE FUNCTION V ALUE 1） 3360.000 ”表示最优目标值为 3360.000（ LINGO 中将目标函数 自动看作第 1 行，从第二行开始才是真
6、正的约束条件） 。“VALUE ”给出最优解中各变量（ VARIABLE ）的值： x1=20.000000，x2=30.000000 。“ REDUCED COST的含义是（对 MAX 型问题）：基变量的 REDUCED COST 值为0，对于非基变量， 相应的 REDUCED COST 值表示当非基变量增加一个单位时 （其它非基变量保持不变） 目标函数减少的量。 本例中两个变量都是基变量。“SLACK OR SURPLUS 给出松弛（或剩余）变量的值，表示约束是否取等式约束；第 2、第 3 行松 弛变量均为 0，说明对于最优解而言，两个约束均取等式约束；第 4 行松弛变量为 40.0000
7、00，说明对于最 优解而言，这个约束取不等式约束。“DUAL PRICES 给出约束的影子价格（也称为对偶价格）的值：第2、第3、第 4行（约束）对应的影子价格分别 48.000000， 2.000000， 0.000000。“ NO. ITERATIONS=2表示用单纯形法进行了两次迭代（旋转） 。灵敏度分析，则 LINGO 还会输出以下结果：RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEX172.00000024.000000
8、X264.0000008.000000RIGHTHAND SIDE RANGESROWCURRENTALLOWABLERHSINCREASE250.00000010.0000003480.00000053.3333324100.000000INFINITY以上显示的是当前最优基（矩阵）保持不变的充分条件（ UNCHANGED ）， 包括目标函数中决策变量应的系数的变化范围 的右端项的变化范围 （RIGHTHAND SIDE RANGES ）两部分。DECREASE8.00000016.000000ALLOWABLEDECREASE6.66666780.00000040.000000RANGES
9、 IN WHICH THE BASIS IS ( OBJ COEFFICIENT RANGES ) 和约束前一部分的输出行X172.00000024.0000008.000000表示决策变量 X1 当前在目标函数中对应的系数为 72，允许增加 24 和减少 8。也就是说， 当该系数在 区间64， 96上变化时（假设其它条件均不变） ，当前最优基矩阵保持不变。对 X2 对应的输出行也可以类 似地解释。由于此时约束没有任何改变，所以最优基矩阵保持不变意味着最优解不变（当然，由于目标函 数中的系数发生变化，最优值还是会变的） 。后一部分的输出行2 50.000000 10.000000 6.6666
10、67表示约束 2 当前右端项为 50，允许增加 10 和减少 6.666667。也就是说，当该系数在区间 43.333333 ， 60 上变化时（假设其它条件均不变） ，当前最优基矩阵保持不变。对约束3、约束 4 对应的输出行也可以类似地解释。由于此时约束已经改变，虽然最优基矩阵保持不变，最优解和最优值还是会变的。但是，由于最优基矩阵保持不变，所以前面的“ DUAL PRICES ”给出的约束的影子价格此时仍然是有效的。 用 LINGO 求解加工奶制品的生产计划，结果如下：20桶牛奶生产A1,30桶生产A2，利润3360元。1）35 元可买到 1 桶牛奶，要买吗？由于原料的影子价格为 48， 35 48, 应该买！2）聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？由于工时的影子价格为 2，聘用临时工人付出的工资最多每小时2 元3）A1 获利增加到 30元/千克，应否改变生产计划由于要使最优解保持不变， X1 系数的允许变化范围为 64， 96。 x1 系数由 24*3=72 增加为 30*3=90， 在允许范围内。所以不改变生产计划。
