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1、-第十一讲导数在研究函数中的应用知识要点1. 求函数的单调性：利用导数求函数单调性的根本方法：设函数在区间内可导，1如果恒，则函数在区间上为增函数；2如果恒，则函数在区间上为减函数；3如果恒，则函数在区间上为常数函数。利用导数求函数单调性的根本步骤：求函数的定义域；求导数；解不等式，解集在定义域内的不连续区间为增区间；解不等式，解集在定义域内的不连续区间为减区间。反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题如确定参数的取值*围：设函数在区间内可导，(1)如果函数在区间上为增函数,则(其中使的值不构成区间)；(2) 如果函数在区间上为减函数,则(其中使的值不构成区间)；(3) 如果函数在区
2、间上为常数函数,则恒成立。2. 求函数的极值：函数的极值的定义：设函数在及其附近有定义，如果对附近的所有的点都有或，则称是函数的极小值或极大值。求函数单调性步骤是：1确定函数的定义域；2求导数；3求方程的全部实根，顺次将定义域分成假设干个小区间，并列表：*变化时，和值的变化情况：*正0负负0负增极大值减减极小值减4检查的符号并由表格判断极值。左正右负极大；左负右正极小3. 求函数的最大值与最小值：函数最大值与最小值定义：如果函数在定义域I内存在，使得对任意的，总有，则称为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。求函数在区间上的最大值和最小值的步骤：1求
3、在区间上的极值；2将第一步中求得的极值与比拟，得到在区间上的最大值与最小值。4. 解决不等式的有关问题：1不等式恒成立问题绝对不等式问题可考虑值域。的值域是闭区间时，不等式恒成立的充要条件是，；不等式恒成立的充要条件是。的值域是开区间时，不等式恒成立的充要条件是；不等式恒成立的充要条件是。2证明不等式可转化为证明，或利用函数的单调性，转化为证明。典例精析例1.求以下函数的导数1 (2)3例2函数，求函数的单调区间；求函数的极值，并画出函数的草图；当时，求函数的最大值与最小值.例3讨论函数y=*2sin*在(0，2)内的单调性.例4函数I当的单调区间和极值；II假设函数在1，4上是减函数，*数a
4、的取值*围。例5.1*市2016届高三1月调研定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当(是函数的导函数)成立, 假设，,则的大小关系是(A B C D2.函数是定义在R上的奇函数，则不等式的解集是例6.05*理向量=(,)，=(,)，假设在区间(-1,1)上是增函数，求的取值*围.例7. 函数存在单调减区间求的取值*围。例8.f(*)*ln *，g(*)*2a*3.(1)求函数f(*)在t，t2(t0)上的最小值；(2)对一切*(0，)，2f(*)g(*)恒成立，*数a的取值*围；(3)证明：对一切*(0，)，都有ln *成立例9.f(*)a*2 (aR)，g(*)2ln *.(1)讨
5、论函数F(*)f(*)g(*)的单调性；(2)假设方程f(*)g(*)在区间，e上有两个不等解，求a的取值*围例10. 函数为自然对数的底数1求的单调区间，假设有最值，请求出最值；2是否存在正常数，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？假设存在，求出的值，以及公共点坐标和公切线方程；假设不存在，请说明理由。参考答案例1.1 (2)3例2解：由，得，函数单调递增；同理，或函数单调递减.由得下表：0+0单调递减极小值f(-2)单调递增极大值f(2)单调递减极小值=-16，极大值=16.由f(-*)=-f(*)，知f(*)是奇函数，得草图如下图：结合及，得下表：0+端点函数值f(-
6、3)=-9单调递减极小值f(-2)=-16单调递增端点函数值f(1)=11比拟端点函数及极值点的函数值，得极小值=f(-2)=-16,例3解：y=12cos*, *(0, 2)，由y0，得*, 即y=f(*)在(,)内是单调递增；同理，由y0，得0*或*0，得f(*)ln *1，令f(*)0，得*.当*(0，)时，f(*)0，f(*)单调递增当0tt2，即0t时，f(*)minf()；当t0)，则h(*)，当*(0,1)时，h(*)0，h(*)单调递增，所以h(*)minh(1)4.因为对一切*(0，)，2f(*)g(*)恒成立，所以ah(*)min4.(3)证明问题等价于证明*ln *(*(
7、0，)由(1)可知f(*)*ln *(*(0，)的最小值是，当且仅当*时取到，设m(*)(*(0，)，则m(*)，易知m(*)ma*m(1)，当且仅当*1时取到从而对一切*(0，)，都有ln *成立例9.解(1)F(*)a*22ln *，其定义域为(0，)，所以F(*)2a* (*0)当a0时，由a*210，得*.由a*210，得0*0时，F(*)在区间上单调递增，在区间上单调递减当a0时，F(*)0)恒成立故当a0时，F(*)在(0，)上单调递减(2)原式等价于方程a(*)在区间，e上有两个不等解由(*)易知，(*)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，则(*)ma*()，而(e)()所
8、以(*)min(e)，如图可知(*)a有两个不等解时需a.即f(*)g(*)在，e上有两个不等解时a的取值*围为a.例10.解：1当恒成立上是增函数，F只有一个单调递增区间0，-，没有最值3分当时，假设，则上单调递减；假设，则上单调递增，时，有极小值，也是最小值，即6分所以当时，的单调递减区间为单调递增区间为，最小值为，无最大值7分2方法一，假设与的图象有且只有一个公共点，则方程有且只有一解，所以函数有且只有一个零点8分来源:学_科_网由1的结论可知10分此时，的图象的唯一公共点坐标为又的图象在点处有共同的切线，其方程为，即13分综上所述，存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切线方程为14分方法二：设图象的公共点坐标为，根据题意得高考资源网高考高考￥资%源网资源网即由得，代入得从而10分此时由1可知时，因此除外，再没有其它，使13分故存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为，公切线方程为14分. z.
