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1、 二比 和 比 例一、比的意义1.比的认识。比的意义:两个数相除,又叫作两个数的比。认识比的符号:比用符号“”表示,读作:比。比的写法:21比14记作2114或2114。比的读法:2114读作:二十一比十四。比的各部分的名称:21 14=2114=2114=32 前比 后 比值2.求比值的方法。用比的前项除以比的后项。例:324=3214=38比与分数、除法之间的联系用字母表示为ab=ab=ab(b0)。3.比与分数、除法之间的区别。意义不同:比表示两个量(或数)之间的一种关系;除法是一种运算;分数是一个数。表示方法不同:作为一种运算,除法算式不能用分数表示;比可以用分数表示;分数不一定表示两
2、个量的比。结果表达不同:除法一般要求出商;比只有求比值时才通过计算求出商;分数本身就是一个数值,无需计算。4.比的基本性质。比的前项和比的后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变,这叫作比的基本性质。用字母表示为ab=(ac)(bc)=(ac)(bc)(c0)。5.最简整数比。指比的前项和后项都是整数,并且是一对互质数,即比的前项和比的后项的最大公因数是1。6.化简比的方法。化简整数比:把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。化简小数比:先移动小数点,化成整数比,再化成最简单的整数比。化简分数比:先用比的前项除以比的后项,求出商,再化成最简单的整数比。二、比的应用按一定的比进行分配的问题
3、的解题方法:可以先求出总量一共被平均分成了几份,然后采用平均分的方法求出每份的具体数量,最后求出各部分量对应的具体数量。也可以先求出总量一共被平均分成了几份,再用相应的分数来表示各部分量,最后用分数乘总量求出各部分量对应的具体数量。三、比例的意义表示两个比相等的式子叫作比例。用字母表示为ab=cd(b、d均不为0)。组成比例的四个数,叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项,中间的两项叫作比例的内项。例:判断两个比能否组成比例,关键要看它们的比值是否相等。若比值相等,则能组成比例;若比值不相等,则不能组成比例。比例的基本性质:在比例中,两个外项的积等于两个内项的积。用字母表示比例的基本性质:ab
4、=cd(b、d均不为0),那么ad=bc。在每个分数形式的比例中,等号两边的分子和分母分别交叉相乘,它们的积都相等。解比例:求比例中的未知项,叫作解比例。解比例的方法:根据比例的基本性质解比例,先把比例转化成外项乘积与内项乘积相等的形式(即方程),再解方程求出未知项的值。注意:计算完后要检验,检验时把x的值代入到原比例式,看比例的左边的比值是否等于右边的比值,比值相等则解正确,不相等则解错误。四、比例尺一幅图的图上距离和实际距离的比,叫作这幅图的比例尺。求比例尺的方法:图上距离实际距离=比例尺或图上距离实际距离=比例尺。比例尺的类型:数值比例尺:用数字形式表示的比例尺,就是数值比例尺。例:17
5、0000或170000。线段比例尺:在图上附有一条注有数量的线段来表示和地面上相对应的实际距离,这样的比例尺叫作线段比例尺。例:。文字比例尺:用文字直接写出图上1厘米代表的实际距离是多少,这样的比例尺叫作文字比例尺。例:图上1厘米相当于实际距离60千米。缩小比例尺:在绘图时,有时需要把实际距离按一定的比缩小后在纸上画出来,用这种方法得到的比例尺就是缩小比例尺。例:120。放大比例尺:在绘图时,有时需要把实际尺寸按一定的比放大后画在纸上,这样得到的比例尺就是放大比例尺。例:201。五、正比例和反比例正比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(商)一
6、定,这两种量就叫作成正比例的量,它们的关系叫作正比例关系。如果用字母x、y分别表示这两种相关联的量,用k表示它们的比值,上面的数量关系可以用式子表示为yx=k(一定)。判断两种量是否成正比例的方法:先找变量(一种量是否随着另一种量的变化而变化),再找定量(两种量中相对应的两个数的比值是否一定),如果两个相关联的量的比值一定,则成正比例,如果比值不一定,则不成正比例。正比例关系图像的特征:正比例关系的图像是一条经过原点的直线。从图像上可以直观地看到两种量的变化情况,不用计算,由一个量的值可以直接找到对应的另一个量的值。反比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的
7、两个数的积一定,这两种量就叫作成反比例的量,它们的关系叫作反比例关系。如果用字母x、y分别表示这两种相关联的量,用k表示它们的积,上面的数量关系可以用式子表示为xy=k(一定)。判断两种量是否成反比例的方法:先判断这两种量是不是相关联的量,再根据数量关系式判断这两种量中相对应的两个数的积是否一定,若积一定,则这两种量就成反比例,否则不成反比例。判断两种量成正比例还是成反比例的方法:(1)判断这两种量是否相关联,即一种量是否随另一种量的变化而变化。(2)看这两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定还是积一定,如果比值一定,就成正比例;如果积一定,就成反比例。六、解决问题用比例知识解决实际问题的方
8、法:根据问题中的不变量找出两种相关联的量,并判断这两种量成什么比例,根据正、反比例关系式列出相应的比例,求解即可。保持物体的图像或图形的形状不变而使物体的图像或图形变大,叫作放大。保持物体的图像或图形的形状不变而使物体的图像或图形变小,叫作缩小。在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小分为三步:(1)看图形各边分别占几个格;(2)计算按给定的比将图形的各边放大或缩小后得到的图形的各边分别占几个格;(3)按计算出的各边的长画出放大或缩小后的图形。易错题:选择。 求3 km4 km的比值,正确的是(A)。A.3 km4 km=34B.3 km4 km=34错解分析:此题错在没有掌握比值和比的区别。比值
9、是一个数,不能写成比的形式。正确答案:B温馨提示:比值是一个数,可以用分数、小数或整数表示。方法提示:判断一个比是不是最简单的整数比的方法:看这个比的前项和后项是不是只有公因数1。重点提示:对于不同单位的两个量的比,进行化简时,应先统一单位,再化简。化简的结果必须是比,即使后项是1也不能省略。重点提示:解答按一定的比进行分配的问题时,不但要找准分配的比,还要找准被分配的量。知识巧记:比例组成有条件,两比相等不能变。外项内项积相等,性质应用很广泛。易错题:5x=6y(x、y均不为0)则xy=56()错解分析:此题错在对比例的基本性质理解不透彻。根据外项的积等于内项的积,若x作外项,则和x相乘的5
10、也要作外项。正确答案:知识巧记:解比例,并不难,基本性质记心间;外项内项分别乘,比例转为方程算;解出方程需检验,比值相等是关键。重点提示:实际距离=图上距离比例尺;图上距离=实际距离比例尺。灵活应用:(1)为了计算方便,通常把缩小比例尺写成带比号的形式时,前项一般为1。若写成分数形式,分子一般为1。(2)为了计算方便,通常把放大比例尺的后项写成1。知识巧记:正比例,好脾气,两量相关要谨记;同扩同缩好兄弟,比值永远不变异。图上距离一般用厘米作单位,实际距离一般用米和千米作单位,在进行有关比例尺的计算时要先统一单位。重点提示:在yx=k(一定)和xy=k(一定)中,k表示固定不变的量,也叫常量,只有k保持不变,变量x和y才成正比例或反比例。重点提示:成比例的两种量必须是相关联的量,而两种相关联的量却不一定成比例。如两种量的和或差一定时,这两种量虽然相关联,但不成比例。重点提示:判断两种相关联的量成什么比例,是解决问题的关键。重点提示:把一个图形放大或缩小后得到的图形与原图形相比,形状相同,大小不同。
