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1、北京市2017届高三综合练习数学（理） 第I卷 选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集U=，集合A=1,3，B=3,5，则= A0，4 B1，5C2，4D2，52. 设为等比数列的前项和，则A11 B5 C D3在极坐标系中，点到直线的距离为A B1 C D4. 阅读右图所示的程序框图若输入a6，b1， 则输出的结果是A1 B2 C3 D4 5. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生， 那么不同的选派方案种数为A.14B.24C.28D.486. 已知函数的简图
2、如下图， 则 的值为 A. B. C. D. 7. 在中，点P是BC上的点. ,则 A. B. C. D. 8若定义-2012,2012上的函数f(x)满足：对于任意-2012,2012有 ，且时，有，的最大值、最 小值分别为，则的值为 A2011 B2012C 4022 D 4024 第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.9. 复数 . 10.样本容量为的频率分布直方图如图所示根据样本的频率分布直方图，计算的值 为 ，样本数据落在内的频数为 11.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 .ADPCOEBF第第11题图
3、第12题图 12.如图3所示，与是的直径，是延长线上一点，连交于点，连交于点，若，则 13. 若双曲线的两个焦点为，P为双曲线上一点，且，则该双曲线离心率的取值范围是_14已知数列中，=，表示的整数部分，()表示的小数部分， =+( nN*)，则=_；数列中，=1，=2，( nN*)，则=_.三、解答题：本大题共6小题，共计80分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.15（本小题满分13分） 已知函数. (I)求的最小正周期 ，最大值以及取得最大值时x的集合. (II) 若是锐角三角形的内角，求的面积.16（本小题满分14分） 如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面，
4、且， ，是线段上一动点（）求证：平面平面；（）若平面，试求的值；（）当是中点时，求二面角的余弦值第16题图17（本小题满分13分） 在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、，且各轮问题能否正确回答互不影响（）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；（）求该选手至多进入第三轮考核的概率；（）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为，求随机变量的分布列和期望18（本小题满分14分） 已知函数（I）当时，求在处的切线方程；（II）求函数的单调区间；（III）若在单调递增，求范围.19.
5、（本小题满分13分） 如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M（3，1）.平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m0)，且交椭圆于A，B两不同点.（I） 求椭圆的方程；（II） 求m的取值范围；（III） 求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.20（本小题满分13分） 将正整数2012表示成个正整数之和.记.（I）当时，取何值时有最大值.（II）当时，分别取何值时，取得最大值，并说明理由. （III）设对任意的15且|2,当取何值时，S取得最小值，并说明理由. 数学（理科）试卷答案及评分标准一.选择题(共40分)题号12345678答案CDABAB
6、CC二.填空题(共30分)9 10. ， 11. 12. 3 13. 1e2. 14. ，（三）解答题15解(I): 4分 5分 7分 (II) 9分, ,解得 11分 . 13分16解：（）连结，平面，平面，第16题图又，平面，又，分别是、的中点，平面，又平面，平面平面； 4分（）建立如图所示的直角坐标系，则，设点的坐标为，平面的法向量为，则，所以，即，令，则，故，平面，即，解得，故，即点为线段上靠近的四等分点；故 -8分（），则，设平面的法向量为，则，即，令，则，即，当是中点时，则，二面角的余弦值为-14分17解：设事件表示“该选手能正确回答第轮问题”，由已知（）设事件表示“该选手进入第三
7、轮才被淘汰”，则3分（）设事件表示“该选手至多进入第三轮考核”，则；7分（）的可能取值为1，2，3，4，所以，的分布列为1234 13分18解：（I）当 时，故切线方程为，即 4分（II） 5分（1）当时，当时，当时， 单调增区间为，单调减区间为 6分当时，令，得或 7分（2）当时，当时，当时，当时，单调增区间为，单调减区间为 9分（3）当a0时，0时，f(x)0，当0x0，当x0时，f(x)b0)由题可得所求椭圆的方程为 . 4分（II）直线OM且在y轴上的截距为m,直线l方程为：y=x+m.联立消y化简得直线交椭圆于A，B两点，解得又因为m0.m的取值范围为-2m2且m0. 8分（III）
8、设直线MA、MB的斜率分别为，则问题只需证明.设A,B则.由（2）又代入整理得 .从而直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形. 13分20解：（I）根据均值不等式，当x1=x2=1006时，S有最大值10062. -2分（II）当x1=x2=x3 =402，x4=x5=403时，S取得最大值. -4分由x1+x2+x3 +x4+x5=2012，取得最大值时，必有|xi-xj|1（ 1ij5）.（*）事实上，假设（*）式不成立.不妨设x1-x22，令，.有， =，同时S=，这与S取得最大值矛盾.所以必须有|xi-xj|1（ 1ij5）. -8分因此当x1=x2=x3 =402，x4=x5=403时，S取得最大值.（III）由x1+x2+x3 +x4+x5=2012且|xi-xj|2,只有x1=401，x2=402，x3 =x4=x5=403；x1=x2=x3 =402，x4=x5=403；x1=x2=x3 =x4=402，x5=404；三种情况 -11分而在时，根据（2）知原式取得最大值；在时，设t=402，=10t2+8t，在时, 设t=402，=10t2+8t. 因此在时S取得最小值. -13分
