《因式分解典型例题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《因式分解典型例题（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、因式分解典型例例1多项式x2+ax+b因式分解为(x+1)(x-2)，求a+b的值.分析根据因式分解的概念可知因式分解是一种恒等变形，而恒等式中的对应项系数是相等 的，从而可以求出a和b,于是问题便得到解决.解由题意得：X2+ax+b=(x+1)(x-2),所以X2+ax+b=X2-x-2,从而得出a=-1，b=-2，所以a+b=(-1) + (-2)=-3.点评“恒等式中的对应项系数相等”这一知识是求待定系数的一种重要方法.例2 因式分解6a2b+4ab2-2ab.分析 此多项式的各项都有因式2ab，提取2ab即可.解 6a2b+4ab2-2ab=2ab(3a+2b-1).点评 用“提公因式
2、法”分解因式，操作时应注意这样几个问题：首先，所提公因式应是各 项系数的最大公约数与相同字母最低次幕的乘积，即提取的公因式应是多项式各项的最高公 因式，否则达不到因式分解的要求；其次，用“提公因式法”分解因式，所得结果应是：最 高公因式与原多项式各项分别除以最高公因式所得商式的乘积.如果原多项式中的某一项恰 是最高公因式，则商式为1，这个1千万不能丢掉.本例题中，各项的公因式有2, a，b，2a，2b，ab，2ab等.其中2ab是它们的最高公因式， 故提取2ab.作为因式分解后的一个因式，另一个因式则是分别用6a2b，4ab2和-2ab除以 2ab所得的商式代数和，其中-2ab：2ab=-1，
3、这个-1不能丢.例 3 因式分解 m(x+y)+n(x+y)-x-y.分析 将-x-y变形为-(x+y)，于是多项式中各项都有公因式x+y，提取x+y即可.解 m(x+y)+n(x+y)-x-y=m(x+y)+n(x+y)-(x+y)=(x+y)(m+n-1)点评注意添、去括号法则.例4因式分解64x6-1.分析64x6可变形为(8x3)2，或变形为(4x2)3，而1既可看作12，也可看作13，这样，本题可 先用平方差公式分解，也可先用立方差公式分解.解 方法一64x6-1=(8x3)2-1=(8x3+1)(8x3-1)= (2x)3+1(2x)3-1=(2x+1)(4x2-2x+1)(2x-
4、1)(4x2+2x+1)方法二64x6-1=(4x2)3-1= (4x2-1)(16x4+4x2+1)= (2x+1)(2x-1)(16x4+8x2+1-4x2)= (2x+1)(2x-1)(4x2+1)2-(2x)2= (2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1)(4x2-2x+1)点评 在分解因式时，尽管采用的方法不同，但结果应是相同的.本题的两种解法，显然第 一种方法比较简单.例5因式分解2探+*.分析 从表面上看，本题中的两项都不是完全立方，但如果先提取系数2或!，则形式便发生了变化.解 2m3=：(8n? +n3)=-(2m + n)(4m2 - 2nm + n2).点评 分解因式时
5、，应首先考虑各项有没有公因式，如果有公因式，一定先提公因式，然后 再考虑能否用其它方法继续分解.本题如果先提2,应如何分解？例 6 因式分解(x+y) 2-6(x+y)+9.分析可将x+y当作一个整体，此多项式便是关于这个整体的二次三项式，显然它可用完全 平方公式分解.解 (x+y) 2-6(x+y)+9= (x+y) 2-2 X 3 X (x+y)+32= (x+y-3)2.点评 在运用公式分解因式时，一定要掌握公式的特点，尤其要注意完全平方公式中一次项 系数的特点.例7因式分解x2+6x-7.分析这个二次三项不符合完全平方公式的特点，首先，二次项与常数项不同号，其次，常 数项的绝对值不是一
6、次项系数一半的平方，所以不能直接用公式分解，但经过适当的变形后， 便可用公式分解.另外，这样的二次三项式可用十字相乘法分解.解 方法一x2+6x-7=x2+6x+9-9-7=(x+3) 2-16=(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1)方法二 x2+6x-7=(x+7)(x-1)点评方法一叫配方法.用配方法分解二次三项式时，其前提是二次项系数为1 (如果二次 项系数不是1，则提取这个系数，使二次项系数转化为1)；其关键是，加上紧接着减去一次 项系数绝对值一半的平方，这样便达到配方的目的.在用十字相乘法分解二次三项式时，主 要考虑的是十字相乘后的代数和应是一次项.例8因式分解3x2-7
7、x-6.分析本题二次项系数不是1，如果用配方法分解，则应首先提取二次项系数3,然后再加、 减一次项系数一半的平方；如果用十字相乘法分解，既要考虑好首尾两项的分解，更要考虑 到十字相乘后的代数和应是中间项(即一次项).解 方法一3x2 - 7x - 6 = 3 x2 - 2 749 49=3 笠-x + L5JO 7x -221引21=3 x + - (x-3)= (3x +2)(x -3).方法二 3x2-7x-6=(3x+2)(x-3).点评用十字相乘法分解因式，在排列算式时，应想到同行不应有公因式(如本题二次项所 分出的3x与常数项所分出的3不能放在同行，只能与分解出的另一个因式2放在同行
8、)这 是因为，如果同行有公因式，此公因式在开始分解时就应提出.掌握这一点会简化操作过 程.从上述两例可以明显看出，在有理数范围内分解二次三项式ax2+bx+c用十字相乘法比 较方便，但随着数的范围的扩大，就看出配方法的重要了.于是便出现这样的问题：在分解 二次三项式ax2+bx+c时，何时用公式法？何时用十字相乘法？何时用配方法？我们可用 b2-4ac的结果来判别：b2-4ac=0时，用完全平方公式分解；b2-4ac0且是一个完全平方数时，用十字相乘法分解；b2-4ac0但不是完全平方数时，用配方法分解；b2-4ac0时，在有理数范围内和将来学到的实数范围内都不能分解.至于为什么可用b2-4a
9、c的结果来作上述判断，这个问题在今后的学习中会得到解决.例 9 因式分解 2ax-10ay+5by-bx.分析用分组分解法.可将一、二两项和四、三两项分别作为一组，这样不仅每组可分解， 而且确保继续分解.解 2ax-10ay+5by-bx=2ax-10ay-bx+5by= (2ax-10ay)-(bx-5by)=2a(x-5y)-b(x-5y)= (x-5y)(2a-b).点评本题还可以一、四两项一组，二、三两项一组，但不能一、三项和二、四项分组，可 见分组要恰当.分组是否恰当，以能否达到因式分解的目的为标准.所以，分组后各组系数 成比例则是恰当分组的重要条件.例10因式分解：(1) x2-2
10、xy+y2-1(2) x2-2y-y2-1分析 这两小题都不能平均分组，因为平均分组后，各组系数不可能成比例，从而达不到因 式分解的目的，但经过观察可知，如果将(1)题前三项和第四项分组，将(2)题第一项和 后三项分组，则可先用完全平方公式继而用平方差公式将其分解.解 (1)x2-2xy+y2-1=(x2-2xy+y2)-1= (x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)(2) X2-2y-y2-1=x2-y2-2y-1=X2-(y2+2y+1)=X2-(y+1)2=(x+y+1)(x-y-1)点评 在分解四项式时，也应首先考虑是否有公因式，如果有，要先提公因式然后再考虑分 组，在分组时，又
11、有两两分组、一三分组和三一分组三种不同分法，这就需要做到具体问题 具体分析.对某些特殊的四项式也可直接用完全立方公式分解，即a33a2b+3ab2土b3=(a土 b)3 .对五项式或五项以上的多项式也采用分组分解法.例 11 因式分解 X2+4xy+3y2+x+3y.分析 本题的前三项可以分解为(x+y)(x+3y)，其中(x+3y)正好与后两项完全一样，所以本 题作三二分组，问题便得到解决.解 x2+4xy+3y2+x+3y=(x2+4xy+3y2)+(x+3y)=(x+y)(x+3y)+(x+3y)= (x+3y)(x+y+1).例12因式分解：(1) a2+2ab+bz+2a+2b+1，
12、(2) a2+2ab+b2+2a+2b-3，(3) a2+3ab+2b2+2a+b-3.分析这三道题都不能平均分组，经观察，它们都可以三二一分组，分组后，(1)题可经过 两次完全平方公式分解，(2)题可经过一次公式和一次十字相乘分解，而(3)题则可经过 两次十字相乘分解.解 (1) a2+2ab+b2+2a+2b+1= (a2+2ab+bz) + (2a+2b)+1= (a+b) 2+2(a+b)+1=(a+b+1)2.(2) a2+2ab+b2+2a+2b-3= (a2+2ab+b2) + (2a+2b)-3= (a+b) 2+2(a+b)-3= (a+b+3)(a+b-1).(a+b)x_
13、Tr+3(a+b)-1(3) a2+3ab+2b2+2a+b-3= (a2+3ab+2bz) + (2a+b)-3= (a+b)(a+2b) + (2a+b)-3= (a+b-1)(a+2b+3).(a+Zb)八+3 例 13 已知 4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0，求证：2x2+3xy+y2-x-y=0分析 要证明一个多项式的值为零，通常是将此多项式分解因式.若分解后的因式中有一个 值为零，则原多项式的值为零.经过分组分解，可知2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1)，若x+y 或2x+y-1为零，则原多项式的值为零.为达此目的，就要从条件入手.证明 因为 4x2+4
14、xy+y2-4x-2y+1=0，所以(2x+y)2-2(2x+y)+1=0，(2x+y-1) 2=0.所以2x+y-1=0.又因为2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1).而2x+y-1=0,所以2x2+3xy+y2-x-y=0.例14已知3x2-4xy-7y2+13x-37y+m能分解成两个一次因式的乘积，求m的值.并将此多项 式分解因式.分析 根据因式分解的概念和乘法法则可知，原多项式所分解得的两个因式必然都是三项 式，而原多项式的前三项可分解为(3x-7y)(x+y),于是可设原多项式分解为 (3x-7y+a)(x+y+b)，再根据恒等式中的对应项系数相等，便能使问题得到
15、解决.解设 3x2-4xy-7y2+13x-37y+m= (3x-7y)+a(x+y)+b=3x2-4xy-7y2+(a+3b)x+(a-7b)y+ab.对应项系数相等，所以+ 3b = 13,a-7b = -37,ab = m.(勾由(1) (2)解得a=-2，b=5.将 a=-2， b=5 代入(3)，得m=-10所以 3x2-4xy-7y2+13x-37y+m=3x2-4xy-7y2+13x-37y-10= (3x-7y+a)(x+y+b)= (3x-7y-2)(x+y+5).例 15 已知 I x-3y-1 | +x2+4y2=4xy，求 x 与 y 的值.分析在通常情况下，由一个方程求两个未知数的值，条件是不够的，但在特殊条件下又是 可行的，这“特殊条件”包括非负数的和等于零的性质.本题已有一个明显的非负数，即I x-3y-1 I，而另一个非负数可由因式分解得到.于是问题能够解决.解 因为 I x-3y-1 | +x2+4y2=4xy，所以Ix-3y-1I+x
