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1、解三角形三类经典类型类型一判断三角形形状类型二求范围与最值类型三求值专题类型一判断三角形形状例1：已知 ABC中,bsinB=csinC,且sin2A sin2 B sin2C ,试判断三角形的形状.解：: bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2 B=sin 2C,sinB=sinC B=C由sin2 A sin2 B sin2 C得a2 b2c2 ，三角形为等腰直角三角形.例2 :在 ABC中，若B =60 , 2 b=a+c,试判断 ABC的形状.解：1.1 2 b=a+c,由正弦定理得 2sinB=sinA+sinC,由 B=60 得 sinA+sinC=。3由三角形内角和定理
2、知 sinA+sin( 120 A)= J3 ,整理得sin(A+ 30 )=1A+3090，即A 60，所以三角形为等边三角形例3:在 ABC中，已知enA tan B2，试判断 ABC的形状.b2解：法1：由题意得sin AcosBsin B cos A. 2 sin A2sin B,化简整理得 sinAcosA=sinBcosB 即 sin2A=sin2B.2A=2B或2A+2B=ti，A=B或A B.三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.222, 2a c b, 广 sin AcosB a2aa2法2：由已知得 -y结合正、余弦定理得 一2勺c2 -y ,sin B cos A b1b
3、 c a bb 2bc整理得(a2 b2)(a2 b2 c2) 0 a2 b2或a2 b2 c2即三角形为等腰三角形或直角三角形例4：在 ABC中，(1)已知sinA=2cosBsinC ,试判断三角形的形状；(2)已知sinA= sin B sinC，试判断三角形的形状.cosB cosC解：(1)由三角形内角和定理得sin(B+C)=2cosBsinC整理得sinBcosC cosBsinC=0即sin(B C)=0 B=C即三角形为等腰三角形(2)由已知得sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ,结合正、余弦定理得222222)(bc) 0a ac a ab b c,化简
4、整理得(a2 b2 c2 2ac2ab2. 22 一a b c即三角形为直角三角形.例5:(2)若 b=asinC,c=acosB,判断 ABC的形状.解：在 ABC中，(1)已知 ab=ccosB ccosA,判断 ABC的形状.(1)由已知结合余弦定理可得22,2a c b a b c 2ac,222b c a c ,整理得2bc(a b)(a2 b2 c2) 0 a b 或 a2 b2由bsin B,b=asinC 可知一sin C ,由asin Ab2 c2a2 ,即三角形一定是直角三角形，/c2,三角形为等腰三角形或直角三角形22.2一 a c bc=acosB 可知 c a 整理得
5、2acA=90 , sinC=sinB . . / B=/ C, ABC为等腰直角三角形.4例6：已知 ABC中，cos A ,且(a 2): b : (c 2) 1: 2 : 3 ,判断三角形的形状.5解：由题意令 a 2 k,b 2k,c 2 3k(k 0),则 a k 2,b 2k, c 3k 24222 一 cos A ,由余弦定理得 k 4 a 6,b 8,c 10 . a b c 即 ABC 为直 5角三角形.7 .在 ABC中，a、b、c分别为A B C的对边，cos22 b c ,则 ABC勺形斗犬为2 2ctan A 2c b8 .在 ABC中，右 贝A=tan B b 类型
6、二求范围与最值1、在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c满足bc, ABBC 0,a 立则2bc的取值范围是b c,2、在ABC中，AD为BC边上的图线，AD= BC角A,B,C的对边为a,b,c,则一十:的最c b大值是八 ,1 2 1a2 h,人一口b2+c2a2解析 因为AD= BC= a,由2a =bcsin A,解得sin A=无，再由余弦te理得 cos A=2bc-1 b c a22 c b bc值为 51 b cb c-(- -sin A),得十 匚=2cos A+ sin A,又 AC (0 ,兀)，最大2cbc b解析几何或者几何法1解析几何法：ABC,BC 2,
7、AB J3AC,求 ABC面积的最大值。2几何法：ABC,知道BC=4, AC=2/3,求B的范围。方程有解，利用判别式求范围。附例：4、已知 ABC中，B=,b 3 ,且 ABC有两解，则边a的取值范围是 35、借力打力型求取值范围附例：钝角三角 形中，B 一,若最大边和最 小边长的比 为m,则m的取值范 围 3是？设钝角三角形的另外两个角是+ 一，-336、已知 ABC3, AB= 1, BC= 2,则角C的取值范围是 A、b caAB7、在 ABC若 C 2 B,则CB的取值范围AC8、已知 ABC中，B=,b 3 ,且 ABC有一解，则边a的取值范围是 39、已知 ABC中，a x,b
8、 2,B 45o,若该三角形有两解，则x的取值范围是 10、钝角三角形 ABC的三边长为a, a+1,a+2(a N )，则a=11、在锐角 ABC中，BC 1, B 2A,则AC的取值范围为 .12、设 ABC的内角a, B, C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且 A B C, A 2C ,则 sinA :sin B : sinC 为1 1GT2/. . 215、在锐角三角形ABC中，S c一(a b),C既不是最大角，也不是最小角，求k值14、在锐角三角形 ABC中，A 2B,则一b的取值范围是b c取值范围Ck 4tan ,C (45,90 ), k16.在钝角三
9、角形2ABC中，已知a 1,b(4,2 4,4)2,则c的取值范围为(1,3) (.5,3)类型三求值专题1、在 ABC中，若BC=5 CA=7, AB=8,贝 ABC的最大角与最小角之和是2、在 ABC 已知(b+c) ： (c+a) ： (a+ b) =4 ： 5 ： 6,则 sin A： sin B： sin C= 3、在 ABC中，D 为 BC边上一点，BO 3BD AD= R A ADB= 135 ,若 AC=，2AB 则BD=Cfi解析：.1 (b+ c) ： (c+a) ： (a+b) = 4 ： 5 ： 6,，设 b+ c=4k, c+ a= 5k, a+ b= 6k(k0),
10、 7.5.3.解得 a= 2k, b= 2k, c= 2, 1- sin A： sin B ： sin C= a ： b ： c= 7 ： 5 ： 3.答案：7 ： 5 ： 34、钝角三角形边长为 a, a+1, a+2,其最大角不超过120 ,则a的取值范围是 .5、在 ABC中，已知a-b=4,a+c=2b且最大内角为 1200,则a= .6、如果满足/ ABC= 60 ,AC= 12,BC= k的三角形恰有一个，那么k的取值范围是 .7、在ABC3,若 C= 30 , AC= 373, AB= 3,则 ABC勺面积为 .解析：由正弦定理得：器=笆，sin B= Asin C= 率 ；=坐
11、，所以B= 60。或120。.sin C sin B AB 322一 一 11.9 310当B= 60时，SA=2ABXAC= 2- 3-33=-2-;当B= 120时，SA=2ABXACsin304答案:乎或乎8、仅有一个等式作为方程求解时，注意整体思想，整体带入附例：在锐角 ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若*+ = 68$C,则等一Ca btan A9海上有A、B两个小岛，相距 10海里，从 A岛望C岛和B岛成60o的视角，从 B岛望C 岛和A岛成75。的视角；则 B、C间的距离是 海里.10.某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在 A处获悉后，测得该渔轮在方1
12、1、在12、在13、在解:位角45o、距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角105o的方向、以每小时 9海里的速度向附近的小岛靠拢。我海军舰艇立即以每小时 21海里的速度前去营救；则舰艇靠近渔轮所需的时间是小时.ABC 中，若 A= 60, a 273,则sin AABC中，三边a,b,c与面积s的关系式为sa 2b 3c2sin B 3sin Cl(a2 b2 c2),则角 C为445ABC中，在由正弦定理知sin AcosBcos Asin B八1 cos A 一 , 2ABC中，若 tan A tan Bc 2RsinC, b2sinCsin B2c b求A.sinB,sin A cosA sin B2sin C sin Bsin B2sinC 1sin Bsin(A B)sin BcosAcosB 2sinC : z-，sin Bsin Csin B cos A2sin C,sin B
