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1、 伪匀称随机数的计算机检验摘要现代社会中，计算机实力的提高使得随机数发生器在众多领域中有了较为广泛的应用，如蒙特卡罗方法，统计抽样技术和密码学等。同时关于随机数发生器也产生了许多的理论和方法，本文将简洁介绍一些常见的伪匀称随机数发生器：线性同余发生器（LCG方法）和反馈位移寄存器法（FSR方法）。然后对伪匀称随机数序列进行统计检验。主要检验方法有参数检验（包括均值、方差或各阶距）、匀称性检验（包括卡方、柯氏和序列检验）、独立性检验（包括相关系数、列联表和游程检验）。最终，本文将利用Matlab生成一列随机数，并运用SPSS统计软件对此列随机数的统计特性择其适合的方法进行检验。关键词：伪随机数；
2、随机数发生器；统计检验；SPSS统计分析AbstractIn modern society, the improvement of computer capabilities make random number generator widely used in many areas, such as the Monte Carlo method, statistical sampling techniques and cryptography. At the same time there are a lot of theories and methods on the random num
3、ber generator, I will introduce some of the common random number generators briefly in this article: linear congruential generator (LCG method) and feedback shift register method (FSR method) . Then I will do statistical tests with the sequence of random numbers . Main methods are: parameter test (i
4、nvolving the mean, variance, or the order from) ,the test of homogeneity (involving Chi-square, Coriolis and sequence test), test for independence (involving the correlation coefficient, contingency table and the runs test. Finally ,this paper will use the Matlab generate a sequence of random number
5、s, use SPSS and select the appropriate test methods to test statistical properties of the sequence of random numbers.Key words: random number, random number generator, statistical test,SPSS statistical analysis书目摘要IAbstractII一、引言11基本概念和定理12 伪随机数2二、产生随机数的一般方法32.1 取中法32.1.1 平方取中法3乘积取中法32.2 同余发生器3混合同余法
6、4乘同余法4加同余法42.3反馈位移寄存器法4三、伪匀称随机数的统计检验63.1 检验步骤63.2 检验统计量63.3 统计检验方法7参数检验7匀称性检验8独立性检验10其他阅历检验12四、实例分析134.1 数据产生及录入134.2 参数检验-单样本t检验134.3匀称性检验-卡方检验144.4独立性检验164.5本章小结18五、结论19参考文献20附录21一、引言在科学探讨和工程设计中广泛应用到计算机模拟方法，从而经常须要产生大量的具有特定统计性质的随机数。这种随机数通常是由计算机以某种数学方法产生，他们实质上是完全确定的，但可以满意肯定的统计特征，故也称为伪随机数。而如何产生达到统计要求
7、的随机数，则有不同的方法：硬件方法和软件方法。硬件方法可以在计算机上附上一个硬件设备或者采纳移位寄存器来产生伪随机数；软件方法一般都采纳数学公式法。至今关于随机数发生器有许多的理论和方法，其中除了传统的Fibonacci法、平方取中法、线性同余法、位移寄存器法和组合方法外，最近还有非线性同余法、取小数法、进位加和错位减法、广义反馈位移寄存器法等等。尽管这个领域己经有许多的理论探讨，但是仍存在许多的实际问题，甚至最近提出的随机数发生器也有一些缺点。近年来在计算机中，比较广泛运用的方法就是同余法，而在高级程序设计语言中常采纳线性同余法。每次生成的伪随机数须要满意独立的条件及给定分布函数的要求，但高
8、级程序设计语言中供应的库函数产生的伪随机数都是满意肯定条件的匀称分布随机数，且在同一次程序运行中，每次产生的伪随机数是完全相同的。通过在微机上对用乘同余法和混合同余法产生的随机数进行大量的试验， 发觉通过适当选择算法中的各常量， 用这两种方法产生的随机数，其分布特性一般简洁通过统计捡验。用随机模拟方法解决实际问题时，首先要清晰随机数的产生方法，或者说是随机变量的抽样方法。1基本概念和定理 定义1: 设随机变量，则称随机变量随机抽样序列为分布的随机数。 若，则称来自的随机抽样序列为正态分布随机数；若听从指数分布，则称为指数分布的随机数；若区间匀称分布，则称为区间上的匀称分布随机数。 定理1 设是
9、连续且严格单调上升的分布函数，它的反函数存在，且记为即。若随机变量的分布函数为，则。若随机变量，则的分布函数为。推论 已知，设是一个分布函数，且反函数存在，则。 定理2：设听从二点分布相互独立，且令 =+（用二进制表示） 则定义2：(准匀称分布) 设离散随机变量的概率密度为： 则称为准匀称分布，且。2 伪随机数明显，用计算机只能产生准匀称随机分布数，但是当很大时，和匀称随机变量的统计性质差异很小，可以把准匀称随机数做伪匀称随机数。二、产生随机数的一般方法2.1 取中法 平方取中法平方取中法又称自然取中法，首先由Von Neuman于1940年提出， 此法起先取一个 2 位十进制整数作为种子，将
10、其平方得到的一个4位数（不足4位的高位补0），然后取该4位中间 2位作为下一种子数，并对此数进行规格化（化成小于1的2位的实数值），依上述过程类推便得到一维随机数列。其一般的递推公式是：的中间2位数字；按此公式依次得到一列数据，然后把这列数据的每一个元素都除以 ，可得到0,1区间上匀称分布的随机数列。乘积取中法乘积取中法是通过平方取中法改进得到的一种产生随机数的方法，其一般递推公式为：式中：第 n+1 个十进制的正整数；第 n+1 个伪随机数。 此方法虽然简洁，但匀称性不好，且序列很快趋于零，其长度难以确定，故目前已很少运用。2.2 同余发生器该发生方法是目前应用最广泛的方法之一，通常我们把它
11、简称为LCG（Linear Congruence Generator）方法，它是由 Lehmer 在1951年提出的。此方法是利用数论中的同余运算来产生随机数的，故称之为同余发生器。LCG 方法的一般递推公式为： 其中初值为，为模数，为乘子（乘数），为增量（加数），且，均为非负整数。明显由上式得到的（=1,2,）满意：。从而。当然，递推公式中的参数，的选择非常关键。否则，进行了肯定次数的迭代之后会出现短周期的重复现象，因而我们应慎重选取。当参数，选择不同时，对应的方法会有稍稍的不同，具体的探讨如下：混合同余法当上面的式中参数0，1时，则称之为混合同余法，或者称为混合式LCG。乘同余法 当式中=
12、0时的LCG方法称为乘同余法，或是积式发生器。具体表示式如下： ，初值为。加同余法当式中时，称之为加同余法。具体表示式为：，初值为虽说此方法可于以达到最大的周期，而且计算机实现比较便利。但是和上面的混合同余法、乘同余法对比，验证得出：该方法得到的随机数列性质相对较差。所以，一般常用的是混合同余法和乘同余法。2.3反馈位移寄存器法随着 LCG 方法的应用，人们慢慢发觉其缺陷并起先找寻新的随机数发生方法。因此，通过大家的努力，在1965年以 Tausworthe 的相关论文为基础，出现了几种比较好的随机数发生器。它的主要原理是通过对寄存器进行位移，干脆在存储单元中形成随机数。我们称这种方法为反馈位
13、移寄存器法（Feedback Shift Register Methods）,简称之为 FSR 方法。其线性递推公式为： 其中为给定正整数，或为给定的常数。1971年，Toot hill、Robinson 和 Adams 又给出了 FSR 的另一递推公式： 其中是次数小于的且系数为0或1的多项式。而且0为正整数。三、伪匀称随机数的统计检验伪匀称随机数的有效性在于它们与真正的区间上匀称随机数的性质是否有显著差异。这是一个重要的问题。因为二者若有显著差异，这时以这种随机数发生器产生的随机数为基础的随机变量所得到的样本就不能够反映该随机变量的性质，从而无法得到牢靠的随机模拟结果。因此随机数发生器的检
14、验是一项很重要的工作。一般状况下，会有两种不同的检验方法：阅历检验和理论检验。阅历检验是一种统计检验，它是以发生器产生的匀称随机数序列为基础的，依据区间上匀称总体简洁随机样本的性质，如特征向量、匀称性、随机性等，探讨我们产生的随机序列的相应性质，进行比较、借鉴、视其差异是否显著确定取舍。理论检验从统计意义上说并不是一种检验，它用一种综合的方法来评估发生器的参数值，而根本不必产生任何随机数序列，即它只是一种理论上的探讨。由于理论检验方法须要特地学科的学问，数学上又相当难，我们这里只探讨阅历检验的几种方法，通常称为统计检验。3.1 检验步骤首先假设总体具有某种统计特性，然后由样本值检验这个假设是否
15、可信，此法又称假设检验，具体步骤如下：提出假设：总体分布为；选取适当的统计量，其中是样本，并求出在成立时的分布；给定显著水平，确定检验方法，即给出否定域:使得 由观测值（样本值）计算值；做统计推断，当时否定；当时，相容。3.2 检验统计量 依据中心极限定理得到近似正态分布统计量设是相互独立同分布，且，记=，则以为极限分布。统计量将总体的简洁子样按肯定规则分为互不相交的个组，记第组的观测频数为，若随机变量属于第组的概率为，记理论频数，由构造统计量渐进听从，其中是附加在概率分布上独立约束条件的个数即确定概率时利用样本估计总体参数的个数，当时，。3.3 统计检验方法参数检验匀称随机数的参数检验是检验由某个发生器产生的随机数序列的均值、方差和各阶矩阵等与匀称分布的理论值是否有显著差异。若随机变量，则若是匀称总体的简洁随机样本，即相互独立同分布，记
