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1、含绝对值的不等式 学习规定（）理解并掌握解含绝对值的不等式的基本思路是化去绝对值符号,转化为不含绝对值符号的不等式(或不等式组）来解。 (2）弄懂去绝对值符号的理论根据,掌握去绝对值符号的重要措施，会解简朴的具有绝对值的不等式。重点难点 .实数绝对值的定义: a|= 这是去掉绝对值符号的根据,是解含绝对值符号的不等式的基本。 2.最简朴的含绝对值符号的不等式的解。 若时，则 |x|a -axa xa。注：这里运用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的,即x可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。 3常用的同解变形|(x)|g(x) -g(x)f(x)g（x) f（x）-g（x)或f(x)g（
2、x)； |f(x）|g(x)| f2(）g2(x)。 4三角形不等式:|a|b|b|a|+|。例题选讲：第一阶梯 例1：实数绝对值的涵义是什么？探路：实数绝对值的定义是分类给出的。 解：正数的绝对值就是它自身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。即: 评注：绝对值的概念是分类定义的,因此,在解决此类问题时，必须要分类讨论。例：型如:|x|a，(其中a)不等式的解法。 探路:运用不等式的乘措施则或绝对值意义均可。 解：当0时，|x|ax2 -a2 a或x；其几何意义为 评注： 解:型如|x|0）和|x|a，（a0)的不等式，可以运用平措施化为有关x的二次不等式来解;也可以运用定义法来解,均
3、可求得它们的解集。此后,要熟记|x|0）的解集为-aa，（a）的解集为a或x-a是十分重要的。 例3：由定理“a|-|b|a+b|a|+|b”导出定理:“|a|-|a-|b|” 探路：运用“代换法” 证明:由定理一可知，a|-b|a+（b)|a|-b，即|a|-|b|ab|+ 评注：有关和、差、积、商的绝对值与绝对值的和、差、积、商,有下面性质。（1)|ab|=|a|b;(2) ,(b0）; (3）|-|a+b|a|+|b|；(4)a-|b|b|a|例4：不等式| |的解集是（ ） （）x|56;(B）x|18 （C)|7x20；（D）x|8x22探路：根据不等式的性质|f（x)|a -af(
4、)0）求解。 解:1 -131 2 4 4x216 x18, 即64 探路： 含多种绝对值符号的不等式，运用零点、分区间、讨论法。 解：由3x+2,得x=;由x-=0，得x=2, 原式或或或 或x或x-或x0故原不等式的解集为x4 探路:当a0时,有f（) a-af(x）a;|f(x)a（）a或f()4或x-3x 0或x-3x+0,得x-或4；解x23x+40，得x原不等式的解集是x|x4。 评注: 根据a0,R时,有x|aaa xa或xa 可知,去掉绝对值符号的重要措施,为|f(x)|af(x)0） 例.解下列不等式 （i）|x29|x+； 探路：根据实数绝对值的意义,即|a|去掉绝对值符号
5、，再行解之。解:原不等式(I）或(I) 不等式组（I）x=3或x4； 不等式组（I）2x; 探路: |f（x)|g（) ()g(x)或f(x)2x或 2x，得x或； 由 评注:纯熟应用“|f(x)|（x)(）g（）或f(x)3,此不等式恒成立,x-3 (iii）当3x时，原不等式化为2|3， 求(i)、()、(）的并集,得原不等式的解集为第三阶梯 例:设集合，若AB,求实数的取值范畴。 探路：分别解绝对值不等式,分式不等式,化简集合A，B，再将集合的涉及关系转化为与之等价的不等式组,求a的取值范畴。注意此时应涉及端点。 解：|x-a|-2-a2a-22, A=x|a-xa;1-0 0（x+）（
6、x-)02 Bx|-2x； AB, 于是0a1。 评注:本题考察的方向是求满足条件实数a的取值范畴;考察的知识点为：绝对值不等式,分式不等式的解法以及集合的知识;考察数形结合的数学思想,必须指出的是集合的涉及关系,可直观地解释为数轴上区间的覆盖关系，从而将集合的涉及关系转化为与之等价的不等式组，求得a的取值范畴。例2:求证：探路：用综合法不易得手时，可从结论分析入手,逐渐寻找使前一种不等式成立的充足条件或充要条件。 成立，原不等式成立。评注： 本题考察用分析法证明不等式,是对课本P。例4，证明措施的挖潜，每一种不等式都是前一种不等式成立的充足条件或充要条件，因而相邻两个不等式之间要用反向单箭头
7、“”（表达后一种不等式是前一种不等式成立的充足条件），或用双向箭头“”（表达后一种不等式是前一种不等式成立的充要条件)连结。也可以用“需证”、“即证”等语句连结。通过练习,贯彻数学思想和措施。 例3:已知 a | 1, | | 1,试比较| b + | 与2的大小。 探路: 要比较大小的对象具有绝对值符号,可联想算术平方根,对其进行变形，再运用不等式的性质进行放缩解决。 评注: 对于具有绝对值符号的比较大小问题,可视为绝对值不等式的证明,要结合绝对值不等式的性质，运用放缩等措施解决问题。 探路:本题也可以按ab与a-b的符号分类讨论,解答问题。 解： (i) 当a+与-b同号时,有 (ii)当
8、ab与a-异号时,有 （i)当a+与ab至少一者为零时,结论显然 综上所述:|+b|+a-|2 仅供参照,不必深究。 例4：设a0,且a1,解有关x的不等式 探路:运用“同底法”。 解: 原不等式 (i)当0a时不等式组（),无解,原不等式的解集为； （i)当a1时 不等式组(),无解,原不等式的解集为 评注: 本题是含字母系数a的对数不等式，参数a的作用有两个:一是由0a来决定对数函数的单调性;在对数不等式变换为代数不等式时,决定不等号的方向与否变化；二是决定所得代数不等式的解集，还需指出的是,对数函数的定义域为+的制约作用也不可忽视。第四阶梯 例1解不等式 2x-|4. 解: 4x2+x-14 -
