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1、第九讲行列式单元测试题点评一、填空题（每小题2分，满分20 分）1. 全体3阶排列一共有 6个，它们是123,132,213,231,312,321;2. 奇排列经过奇数次对换变为偶 排列，奇排列经过偶数次对换变为奇排列:3行列式D和它的转置行列式D有关系式D D :4. 交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号：5如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这 个行列式等于零：6. 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边；7. 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行 （列）的对应元素上，行列式的值不变：8.行列式的某一行（列）的元素与另一
2、行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零:9.a110a12a1na2na11a22ann ；10.当 k=2山4时，2k.c、判断题（每小题 3分，满分24分）P ： z 1.右(libin)k,则(i2ili3 ln) k 1(V)ai1ai2ain2.设Da21a22a2n，则 D 的一般项 aiijiai2j2ainji2 j2的符号an1an2(jjann是（1）3.若n（n2）阶行列式D=0,则D有两行（列）元素相同.(X)(X )4. 若n阶行列式D恰有n个元素非0,则Dm 0.（ X ）5. 对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接使用克莱姆法则求解。6.
3、若行列式D的相同元素多于n2 n个，贝U D=0.（ X ）7.aiia21a31a12a22a32a13a23a33a12a22a23a11a21a31a13a23a338.n阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘积项带负号 三、单项选择题（每小题 4分，满分20分）1. 位于n级排列1112卅11 1|札中的数1与其余数形成的 反序个数为（A）k2(A) k-1 (B) n-k-1(C)(D) C； k2.设 I1I | | In 是奇排列，则 ink 1I2I1 是(C)(A)奇排列；(B)偶排列；(C)奇偶性不能仅由n的奇偶性确定的排列;(D)奇偶性仅由n的奇偶性确定的排
4、列。D)；(A0n(n 1)(B)n2(C)(n 1)2(D)n以下数集作成数环的是(C )(1)S= bT5|b Z ;(2) S= a0a QS= a b/3 a,b Z ；(4) S= ab岳 a, b(A)(1)、(3)( B)(2)、 (4)(C)(3)、(4)( D)(1)、(4)3.个不等于0的n阶行列式中非零元素个数至少为(Q04.5.行列式(A)a00he00d中元素f的代数余子式是(C(B)(C) g(D)四、计算下列各题(每小题1.计算(2k)1(2k-1)25分，满分20分)|(k+1)k )；解(2k )1 (2 k 1 )2|(k 1)k(12 I k)(1 2II
5、I (k 1)k (k1)k (k1)k 22 2 512.设D31122011A12A13A14的 值.解AnA12A13A14111211344.13.计算行列式D=J522223245332333454424344555253546626364的值。2.c亦亦111112345623456223242526222324252622333435363233343536324344454642434445464解(3 2(4 2)(5(5 4)(62)(64)(62)(45)5=288 J53)(5 3)(63)1231 n 1 n4.计算行列式1 1Dn024*1iI4000 000的值。
6、0 卅 n 1 1 n1)n100*t01) n(n将第 2n1n至n歹U都加00到第一列00444n11nn1n00001n(1)n1 (n1)!21)!五、证明下列各题(满分 16分)1.设F1, F2均为数域，证明R P| F2也是数域。(5 分)证明因为0,1 Fi, F20,1 Fi F2,a,bF? a,baaa, b F2a b,ab, (b 0) Fa b, ab, (b 0)bbaF2a b,ab, (b 0) RF2R F?是数域。2. 已知a,b,c均不为0，证明aybxccxazb有唯解。（5分）bzcya.c证明因为方程组的系数行列式2abc 0(, a,b,c均不为
7、 0)所以有克莱姆法则知，方程组有唯一解。3.设a,b,c是一个三角形的三边，证明0. (6 分)0 a b c a 0 c b b c 0 a c b a 011a0bccb(a+b+c)1c0a1ba00 a b c a 0 c b b c 0 a c b a 0(a+b+c)证明0 0 0a c b b c c a b a c b a a b c-ac-bb-c-ac-bb-c(a+b+c)c-a-ba-c(a+b+c)c-ca-bb-aa-b-cba-c-b-111=(a+b+c)(a-(b+c)c-ca-bba-c-b(a+b+c)(a-(b+c)-10c0a+c-bb a+b-c
8、0(a+b+c)(a-(b+c)(a+b-c)(a+c-b)0（因为a,b,c是三角形的三边）本讲作业：（一）解答下列各题1.计算行列式III解 当x 1时，Dn 0,所以（x 1）|Dn同理（x 2）,|, x （n 1）均为Dn的因式。又x i与x j（i j）各不相 同，所以（x-1） （x 2川|x （n 1）| Dn但Dn的展开式中最高次项xn 1的系数为1,所以 Dn=（x-1） （x 2）|x （n 1）D2计算n阶行列式5 106 51065III*It0000 00 00 0IItI *5 16 5解由于按第一列展开有Dn 5Dn , 6Dn 2,作特000征方程x 2 5x
9、 6 0,解此方程得二根2,3，令Dn A2n 1 B3n1,令n 1,2可得A B 52A 3B 19解得 A 4,B9 Dn 3n 1-2n 13证明Da0aian 1a0an 2 an 1I4IIIIa?a2a1aIIa3IIIan 1an 2an 34f( n1),|i|a0cos isi n?n 1其中 f (x)aixi,i 0证明作矩阵乘积a。an 1a0a1an2 an 1aoIII IIIIan 11an 21an 31 I* ItIa。1124*II2(n 1)i i iIII1n 12(n 1)*(n 1)( n 1)f(1)f()f(2)f(1)f()2f(2)f(1)i2f()14f(2)Rf(1)n1f()2( n 1)f (2)121n 12(n 1)hl2(n 1)(n 1)(n 1)IIIf(n 1f (2( n 1) f (n1)n1)1)(n 1)(n 1) f (f(1)f()1两边取行列式即得所征。说明：此行列式称为循环行列式， 列式计算，可直接利用这一结果。例如计算行列式D=122n(n 1)222n1)f( n1)以后见到以下类型的行22122n3222122n(n 1)2(n 2)243242III12（二）阅读教材 P49-60,并回答什么是矩阵、矩阵的相等？矩阵有哪些运算和性质？有哪些特殊矩阵和特殊性质?.C
