高中数学北师大版必修五教案:1.2 拓展资料:等差数列中“和问题”的一种处理方法

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1、2019年北师大版精品数学资料等差数列中“和问题”的一种处理方法公差为d的等差数列an的通项公式为an=a1(n1)d(nN),若函数f(x)=dx(a1d)(xR),则有an=f(n)本文称函数f(x)为等差数列an的伴随函数,这样便有下面的定理 定理 若f(x)为等差数列an的伴随函数,且mi(i=1,2,3,k)为自然数,则 证:f(x)为等差数列an的伴随函数,f(x)=dx(a1d)(xR),故定理得证 证 由定理得:利用定理及推论可巧妙解答等差数列中有关的和问题 例1 在等差数列an中,若a3a4a5a6a7=450,则a2a8= A45 B75 C180 D300 例2 设等差数

2、列an的前n项和为Sn,若S10=100,S100=10,求S110 解 设f(x)为数列an的伴随函数,由推论得f(5.5)10;由于f(x)为一次函数,故解得 f(55.5)1,从而S110110(1)110 解 设等差数列an与bn的伴随函数分别为f(x)与g(x),由推论知 例4 设等差数列an前n项中奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶 求证:1)n为偶数2m时,S偶S奇md(d为公差),S奇S偶amam+1; 2)n为奇数2m1时,S奇S偶am,S奇S偶m(m1) 解:设f(x)为数列an的伴随函数,由定理知, 1)n为偶数2m时有:所以,S偶S奇m(am+1am)md,S奇S偶amam+1 2)当n为奇数2m1时有:所以,S奇S偶mam(m1)amam,S奇S偶m(m1)以上数例表明,本文给出的定理是对等差数列众多性质的浓缩,因而有一定的实用价值

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