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1、（聚焦2008四川高考）第21讲：不等式的证明、知识梳理（一）知识框图基本方法（二）重点难点证不等式的精髓是 具体问题具体分析不等式的证明其他方法比较法】作差比较法I作商比较法综合法卜综合分析法 I分析法J判别式法向量法三角换元换元法J 元、增量换兀 反证法I整体换元 数学归纳法 构造函数法工放缩法和最值法重点：（1）作差、作商比较法；（2）综合法和分析法；（3）其他万法的简单应用。难点：（1）分析法的灵活应用；（2）放缩法的技巧性。二、点解读与例（考）题（一）比较法（1）作差比较法要证明不等式ab只要证明ab0;或要证明不等式avb,只要证明ab0,b0且a1,则依据不等式的性质可得abob
2、若a0,b0,b0,求证：（）2+（）万a+b2。ba(2)若a,bCR+,且a+b=1,求证：ax2+by2(ax+by)2。11一一xy一注：当a=b=时，不等式即为一(x2+y2)()2。1【例2】已知a、b、c都是正数，且a+b+c=1,求证：a2+b2+c2。31ccc一i【分析1】由a2+b2+c2得3(a2+b2+c2)1,于是33(a2+b2+c2)1=3(a2+b2+c2)(a+b+c)2=(ab)2+(bc)2+(ca)20o【分析2】由a+b+c=1得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,由a2+b22ab,a2+c22ac,b2+c22bc,于是1
3、=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac3【例3】(1)比较1618与1816的大小。分析:161825 8标=(34) ab+cba+cca+b。分析1：直接利用作比法进行证明原等式即可；原不等式a2ab2bc2c2a2b2cab+cba+cca+b即为acbcacab=a2a-b-cb2bc-ac2c-b=aab+a-c+bacca+cb,abc是就有(与ab(b)bc(a)ac1。bcc分析2:直接证明原等式，难以下手，如果从结论整体结构特征出发，把它分解为证明：aabbabba、aaccacca、bbccbccb,这三个不等式，从而结论易于证明。问题：已知a、b是不
4、等的正数，试比较aabb与abba。ab由a(3)ab得，当ab。时，aabbabba；当ba0,abbabaabbabba,综上得aabbabba。(若从此问题去看例1将会更佳)。【例4】已知0,试比较2sin2与cot。22由02sin2cot 一 2一得，2 sin 20, cot 0 ,于是22224cos 4cos 1 1 (2cos 1)【思考题】已知a b 0 ,求证：b (a2证明：a_b v/ab , 于右:不等式 Jab (a bi.abba成立，则原不 2等式成立，于是ab(a A;： bb a1b 1aa b b aa b万b2巡=2而6 bM = (a)即 1,于是原
5、不等式成立。(二)综合法利用已知或已证的不等式为基础。并利用不等式的性质推出所需证明的不等式(由因导果)，这种由因索果的方法，称为综合法。综合法是证明不等式的一种最基本、最常用方法。它往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际证题时，往往利用分析法分析，再用综合法进行书写。(1)若a,bCR,则忸除0,a20,(ab)20O(2)若a,b同号，则一+2。ab(3)平方和不等式：若a,bCR,则a2+b2-(a+b)2。2ab(4)重要不等式：若a,beR+,贝UaVab;若a,beR,贝Ua2+b22abo(5)倒数和不等式：若a,bCR+,则(a+b)(-+-)4。ab【例5】若x
6、,y,zCR,a,b,cCR+,求证:2(xy+yz+zx)。b c 2 c a 2 a b 2-x + b y + c z【例6】已知a,b,cCR+,且a+b+c=1,求证：1)(1一1)(abc1)8o【分析】由a,b,cCR+,且a+b+c=1,得1,abc,1,bc、2,bc1d1=-1=10,同理1aaaaabZac0,1-12也0,当且仅当a=b=c=1。从而不等式得证。bcb3【例7】已知a,b,cCR+且互不相等abc=1,求证：Ja+jb+Jcw1+1+1。abc(2)已知a,b,c均为正数，求证：2(a3+b3+c3)a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)。【分析
7、】(1)问题本质：将含有根号的式子向不含有根号的式子转化或向左转化。【分析1】由a,b,cCR+且互不相等abc=1得,111111bc上_a_c上ba1上111+=+分析2由a,b,cCR+且互不相等abc=1得，111bcabcaababbc+=bc+ac+ab=+Vabc2+Vab2c+vabc2VaVb%c。(三)分析法从被证不等式出发，逐步地探索使不等式成立的充分条件，直到追溯到这个充分条件明显成立为止，从而可断定原不等式成立，这种证明方法叫做分析法。分析法的思维是逆向思维，它能增大思维的发散量，克服思维定势的消极影响，有利于发展求异思维。综合法证明不等式是“由因索果”，分析法证明不
8、等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法，分析法便于寻找解题的思路，而综合法便于叙述，因此注意两种方法在解题中的联合运用。1 1【例8】已知a,bCR,且awb,求证：5|25ab4策略：(a+工)(b+)ab+4a2b2+4ab4abab4(a2+b2)+425ab且a2+b2=(a+b)22ab4a2b233ab+80。(四)反证法反证法证明不等式实质：从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或定理或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立。利用反证法证明不等式应把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出可能结论，缺少任何一种可能，反
9、证都是不完全的。(2)反证法必须从否定结论进行逻辑推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面进行推理，就不是反证法。(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾、有的与假设矛盾、有的与已知事实相违背等等，推导出的矛盾必须是明显的。【例10】设a,b,c,d都是正数，求证：下列三个不等式：a+bvc+d(1)(a+b)(c+d)ab+cd(a+b)cdvab(c+d)(3)至少有一个不正确。(五)换元法(换元法是数学中的基本方法)换元法是指对结构较为复杂、量与量之间的关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结构，
10、使其转化为便于研究的形式。(1)三角代换使用条件：多用于条件不等式且一个变量不易用另一个变量来表示，此时可用三角代换，将两个变量用同一个参数表示，从而将代数问题转化为三角问题理论依据：|sinx|w1,|cosx|w1。常见代换：若x2+y2=1,贝(Jx=cosa,y=sina。推广：若x2+y2=R2,贝Ux=Rcosa,y=Rsina。若x2+y21,贝Ux=rcosa,y=rsina(|r|w1)。推广：若x2+y2wR2,贝（Jx=rcosa,y=rsina（rwR）。若V1X2,则由根号有意义得|x|1且|sinx|w1或|cosx|wi,可令X=cosa。推广：若VR2 x2 ,
11、则由VR2 x2R21 哈）,可令 x=Rcos民。若xyz=x+y+z且tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,贝Ux=tanA,y=tanB,z=tanC（A+B+C=兀）。若Jr2x2与RR2x2，则由sec2a-tan2a=1,csc2a-cot2a=1,可令x=Rtana,x=Rseca。若|x|bc,求证：-1+14。abbcac【证明】由abc,得ab0,bc0,ac0,于是令ab=x,b-c=y,则a-c=x+y,于是原不等式转化为+一-一，即xyxy证明不等式(1+)(x+y)4,即2+4,此不等式成立。xyxy故原不等式成立。1【例12】已知a,bCR+,且
12、a+b=1,求证：a4+b4一。8策略1：令a=cos2a,b=sin2a且aC(0,),于是可以证明。2策略2(增量代换)：令a=1+t,b=1t且tC(1,1)。2222【例13若0vxv1,证明：+-b(a+b)2。x1x策略1:依题意令x=cos2a且ae(0,一)。2策略2:利用1=x+(1x)进行整体代换。于是222222aba1b1ax(1x)bx(1x)一+=+=+x1xx1xx1x22a2+b2+a2+b2+2ab=(a+b)2。x1x【例14】已知实数x、y满足x2+y2=3,求一y的最大值。x2变式1:已知x,yCR且3x2+2y2=6x,求x2+y2的最大值。变式2:已知实数1Wx2+y2W2,试求x2+xy+y2的取值范围。【例15】求函数f(x)=x+41x2的最大值与最小值，并求出与函数的最值对应的x值。分析：利用三角代换可以解决当x=一时，f(x)max=2；当x=兀时，f(x)min=1。(2)增量代换与均值代换增量代换：若一变量在某一常量附近变化时，可设这一变量为该常量加上一个变量。若a2,则a=2+t(t0)；若aV2,则a=2t(t0)。均值代换：在对称式(任意互换两个字母，代换式不变)和给定字母顺序(abc)的不等式。常用增量法进行代换，其目的是减元
