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1、word第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知,则。 2、。3、时,是的阶无穷小。4、成立的为。5、。6、在处连续,则。7、。8、设的定义域是,则的定义域是_。9、函数的反函数为_。10、设是非零常数,则。11、已知当时,与是等价无穷小,则常数。12、函数的定义域是_。13、。14、设,则_。15、=_。二、选择题1、设是上的偶函数,是上的奇函数,则中所给的函数必为奇函数。();();(C);(D)。2、,则当时有。()是比高阶的无穷小; ()是比低阶的无穷小;(C)与是同阶无穷小; (D)。3、函数在处连续,则。(); (); (C); (D)。4、数列极限。(); (); (C); (D
2、)不存在但非。5、,则是的。()连续点;()可去间断点;(C)跳跃间断点;(D)振荡间断点。6、以下各项中和相同的是( )(),; (),;(C),;(D),。7、= ( )() 1; () -1; (C)0; (D)不存在。8、 ( )() 1; () -1; () ; () 。9、在的某一去心邻域有界是存在的( )()充分必要条件;() 充分条件;(C)必要条件;(D)既不充分也不必要条件.10、( )() 1; () 2; (C); (D)0。11、设均为非负数列,且,则必有( )(A)对任意成立; (B)对任意成立;(C)极限不存在 ; (D)极限不存在。12、当时,函数的极限( )(
3、)等于;()等于;()为;()不存在但不为。三、计算解答1、计算下列极限(1); (2) ; (3); (4) ; (5); (6); (7); (8)。、试确定之值,使。、利用极限存在准则求极限(1)。(2)设,且,证明存在,并求此极限值。5、讨论函数的连续性,若有间断点,指出其类型。6、设在上连续,且,证明在至少有一点,使。第一单元 函数极限与连续习题解答一、填空题1、 。 ,。2、 。 。3、高阶 。 ,是的高阶无穷小。4、 。为有界函数,所以要使,只要,即。5、 。 。6、 。 , ,。7、。8、 根据题意 要求,所以 。9、,的反函数为。10、 原式=。11、 由(利用教材P58)与
4、,以及,可得 。12、 由反三角函数的定义域要求可得 解不等式组可得 ,的定义域为。13、。14、,令t=,所以x= 即:=。15、2。二、选择题1、选() 令,由是上的偶函数,是 上的奇函数,。2、选() (利用教材P58)3、选(A) (利用教材P58)4、选() 5、选() , , 6、选() 在(A)中的定义域为,而的定义域为,故不正确在(B)的值域为,的值域为,故错在(D)中的定义域为R,的定义域为 ,故错7、选() ,不存在8、选() , 9、选() 由函数极限的局部有界性定理知,存在,则必有的某一去心邻域使有界,而在的某一去心邻域有界不一定有存在,例如,函数有界,但在点极限不存在
5、10、选() (11、选(D) (A)、()显然不对,因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当充分大时”的情况,不可能得出“对任意成立”的性质。()也明显不对,因为“无穷小无穷大”是未定型,极限可能存在也可能不存在。12、选(D) 当时函数没有极限,也不是。三、计算解答1、计算下列极限:(1)解:。(2)解:。(3)解:。(4)解:。(5)解:。(6)解:。(7)解:。(8)解:。、解:、(1)而 。(2)先证有界(数学归纳法)时,设时, 则 数列有下界,再证单调减, 且 即单调减,存在,设,则有 (舍)或,、解:先求极限 得 而 的连续区间为为跳跃间断点.。、解:令, 则 在上连续而由零点
6、定理,使即 ,亦即 。第二章 导数与微分一、填空题1、已知,则=。2、存在,有,则=。3、,则=。4、二阶可导,则=;=。5、曲线在点处切线与连接曲线上两点的弦平行。6、,则=。7、,则=,=。8、若,则=。9、曲线于点_处的切线斜率为2。10、设,则。11、设函数由方程确定,则。12、设则。二、单项选择1、设曲线和在它们交点处两切线的夹角为,则=( )。(); (); (C); ()。3、函数,且,则( )。(); (); (C); ()。4、已知为可导的偶函数,且,则曲线在 处切线的方程是。();();(C);()。5、设可导,则=。(); (); (C); ()。6、函数有任意阶导数,且
7、,则=。();();(C);()。7、若,则=( )(); (); (C); ()。8、设函数在点处存在和,则是导数存在的( )()必要非充分条件; ()充分非必要条件;(C)充分必要条件; ()既非充分又非必要条件。9、设则( )(); () ; (C); ()。10、若可导,且,则有( )();();(C);()。11、设函数连续,且,则存在,使得( )(A)在单调增加; (B)在单调减少;(C)对任意的有;(D)对任意的有。12、设在处可导,则( )(A) ; (B)为任意常数;(C) ; (C)为任意常数。三、计算解答1、计算下列各题(1),求; (2),求;(3),; (4),求;(
8、5),求;(6),求;(7),在处有连续的一阶导数,求;(8)设在处有连续的一阶导数,且,求。2、试确定常数之值,使函数处处可导。3、证明曲线与(为常数)在交点处切线相互垂直。4、一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升,其速率为140米/分,当此气球上升到500米空中时,问观察员视角的倾角增加率为多少。5、若函数对任意实数有,且,证明。6、求曲线上过点处的切线方程和法线方程。第二章 导数与微分习题解答一、填空题1、2、3、4、 ,5、 弦的斜率 ,当时,。6、7、,8、9、,由,在点处的切线斜率为210、 2 ,11、 方程两边对求导得 解得 。12、 由参数式求导公式得,再对求导,由复
9、合函数求导法得。二、选择题1、 选() 由交点为 , 3、 选() 由得 4、 选(A) 由切线方程为:即 5、 选() 6、 选() 设,则7、 选() 又,8、 选() 在处可导的充分必要条件是在点的左导数和右导数都存在且相等。9、 选()另解:由定义,10、 选() 11、由导数定义知,再由极限的保号性知 当时,从而 当时,因此C成立,应选C。12、由函数在处可导,知函数在处连续,所以。又,所以。应选C。三、计算解答1、计算下列各题(1)(2) ,(3)两边对求导:(4)设则(5)两边取对数:两边求导: (6)利用定义:(7)又注:因在处是否二阶可导不知,故只能用定义求。(8)2、易知当
10、时,均可导,要使在处可导则 , 且在处连续。即而 又 由3、证明:设交点坐标为,则对两边求导:曲线在处切线斜率又由曲线在处切线斜率又两切线相互垂直。4、设分钟后气球上升了米,则 两边对求导:当m时, 当m时, (弧度/分)5、证明:6、解:由于,于是所求切线斜率为,从而所求切线方程为 , 即 又法线斜率为 所以所求法线方程为 ,即 第三章 中值定理与导数应用一、填空题1、_。2、函数在区间_单调增。3、函数的极大值是_。4、曲线在区间_是凸的。5、函数在处的阶泰勒多项式是_。6、曲线的拐点坐标是_。7、若在含的(其中)恒有二阶负的导数,且_,则是在上的最大值。8、在有_个零点。9、。10、。1
11、1、曲线的上凸区间是_。12、函数的单调增区间是_。二、单项选择1、函数有连续二阶导数且则( )()不存在 ; ()0 ; ()-1 ; ()-2。2、设则在曲线( )()单调增凹的; ()单调减凹的;()单调增凸的; ()单调减凸的。3、在连续,则在 处( )()取得极大值; ()取得极小值;()一定有拐点; ()可能取得极值,也可能有拐点。4、设在上连续,在可导,则:在与:在 上之间关系是( )()是的充分但非必要条件; ()是的必要但非充分条件;()是的充分必要条件; ()不是的充分条件,也不是必要条件。5、设、在连续可导,且,则当时,则有( )(); ();(); ()。6、方程在区间( )()无实根; ()有唯一实根;()有两个实根; ()有三个实根。7、已知在的某个邻域连续,且,则在点 处( )()不可导; ()可导,且;(C)取得极大值; ()取得极小值。、设有二阶连续导数,且,则()()是的极大值;()是的极小值;()是曲线的拐点;()不是的极值点。9、设为方程的二根,在上连续,在可导,则在( )(A)只有