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1、 二维的“相异元数”与面的“四色猜想” 孤维 摘 要：一个图形与一个“点”存在拓扑等价，“一维”是点的线性集合。多个图形的线性排列便形成“同维相邻”。由于面是二维的，两个“维度”间相邻的图形排列则形成了“异维相邻”。因此二维的面存在且只存在“同维”与“异维”两种相邻。所以当我们在同样无法证明穷尽无数种可能只能得到1936种状态与633种特殊情况的条件下，试图通过计算机从结果上证明四色猜想，不如从“面”的“二维”这一根本性的原因上说明为什么是这样更让人信服。关键词： 线，面，同维，异维，相异元素。 一 . 线的特性 古代人如何在一条没有任何区别的绳子上记数？很显然，他们是通过打结的方式所形成近似
2、“点”与“线”相邻的两种相异元素的区别来实现。图1 图1既然拓扑只强调不同几何图形之间的等价性。那么我们同样可以从两种不同颜色图形相邻排列中找到与上述“绳结”一致的区别效果。图2 图2以上相邻图形与摆成不同形态的一根绳结为线性的拓扑等价。但不允许：同一线性排列的图形折转与自己相邻！是显而易见的。图3 图3这是由一维的“线”与二维的“面”的本质所决定的。因此我们把： “一维”称作“线维”。不同的“二维”称作“异维”。由于绳子具有线性的本质特征。所以：不管它处于水平或竖直，或是纵向状态，也不管它在空间中除与自己相邻外的何种形态，始终只具有左右或上下或前后相邻的两种可区别的相异元素。并且不论它在空间
3、中处于什么方位都是如此！我们把这种“一维二异”叫做：“线”的特性。如果我们用两种不同颜色取代这两种相异元素，则可肯定：在具有非封闭线性特征相邻排列的多个图形之间，只需两种相异的颜色便可区分所有相邻的它们。 我们称这为：“线维相邻”的特点。并用符号“”来表示它。由于无间相邻的总是两种相异的元素且与图形共存。所以用“N(n)”表示图形与数量，“B2(b2)”为同维的两种相异元素。因为一维二异是“线”的特性，且一个图形在一般情况下与一个点存在拓扑等价，既然线是点的集合，对线性的同一维度而言，至少须有两个图形相邻。如果X维度上的此类标记用大写字母，Y维度用小写字母标记。于是“线维相邻”的表达式为：XN
4、 B1B1或Yn b1b 1 ( N2)不过当我们将类似斑马线这样的图形的两端连接形成一个封闭的环状时：需要不同颜色种数的多少便与图形数量的奇偶数相关。当图形的数量为偶数时只需两种相异颜色。为奇数时则需要三种相异颜色才能区分相邻的它们。图4BA B 图4也就是说只要有三种相异的颜色，即使我们在封闭的环上不断的增加图形数量，也不需再加入新的颜色即可区别它们。我们把：这种一维性的“三异”叫做“非维度”现象。 二 . 区别相邻图形的条件关系从“线维相邻”的特点可以知道： 相邻图形的数量至少与相异的元素相等。或者说这些图形数量可大于这些相异颜色的种数。 我们把这叫做：条件关系。如果用B代表必要条件的颜
5、色种数，相邻图形的数量是N ，则两者之间的条件关系式为： XBXN (YbYn) （N2）这意味着：条件关系规定所需种数的颜色，在区分“线维”相邻图形的数量多于自己时可被重复使用。由此可见：颜色重复的次数相对B的值是没有意义的。这就是我们为什么用“XN B 1） B 1”这样简短的形式来表达“线维相邻”的特点，而不用“XN B 1B 1 B 1B 1”这样连续的形式来表达的原因。当然，在具有“线维”特征排列的有限的多个图形之间，我们也可以使用与图形数量相等的多种不同颜色。图5 图5 不过：当有限的颜色种数，在区别“线维”相邻图形数量N时被全部用完。即B与N相等时，在出现与另一“线维”相邻，即在
6、“异维”图形相邻的情况下，便无法区分另“一维”与此一维N中的一个相邻图形。因为上述“异维”图形的相邻数量为“7与1之和”即： XN1 YN7 （见图6）它所需不同颜色的种数应为：B =7+1。但对于原有的颜色种数来说： B = N = 7 B 7+1 N于是当有限的颜色种数B与所区分的“线维”图形数量N相等时，在超出这一数量的“异维”之间至少有两个相邻的图形无法区别。图6 图6相反的是，根据“维线相邻”的特点及二者之间的条件关系，重复使用所允许种数的颜色，即使互异的“二维”之间有比这更多的图形相邻也不会出现上述情况。图7图7无庸置疑的是，在这里：必要条件（B）是在“限少”（小）的极限前提下取其
7、中能够最大限度满足被规定范围内所需的值。所以B值是必要条件的基本数值。如在区分“非维度”环状相邻图形时：必须取奇数所需的三种色，而不是取偶数所需的两种色。否则不能满足奇数个图形相邻的区别。我们已考虑到，在实际着色的过程中有时会出现上述不能区别的情况，不过这是忽视“线维”相邻可重复用色产生的问题，即为错误的操作所致，而非根本上的原因。图8A A B 图8所以我们也将“异维”图形之间出现的上述问题，归于非本质现象。毫无疑问：用有限种相异颜色以不受数量限制的重复方式表现区别，优于以受数量限制的更多种相异颜色来表现区别。我们从对以上所述做出的总结“线维相邻”的特点： 表现“线维”相邻图形之间的区别，只
8、需两种相异的颜色。可用“两色”相邻与重复用色来表现区别的相邻图形必定呈线性特征的排列。 三 . 拓扑性的二维限定为了把问题说得更明白，我们先用平面直角坐标进行分析。既然拓扑性不强调图形的大小与异同，我们就用异色图形表达相异元素。并在这里将：与X轴平行的维度叫做X维度。与Y轴平行的维度叫做Y维度。因为维度本身具有线性的特征，所以Y或X维度都只需两种相异的颜色便可将相邻在它们之上的图形区别开来。 图9 图9由于“面”是“二维”的，因此在同一面内：不仅有Y，或者X维度上的图形相邻，也有Y与X两个维度之间的图形相邻。基于在同一面内X与Y本身都是一维的。为此我们将： 同一个维度上排列的图形叫做“同维图形
9、”。同维图形之间的相邻叫做“同维相邻”。同维相邻在一般情况下即“线维相邻”。如X维度，或Y维度上排列的图形相邻。见图9 不同维度排列的图形叫做“异维图形”。“异维图形”之间的相邻叫做“异维相邻”。很显然：“异维相邻”就是二维间的相邻。并因此形成“面”。如X维度与Y维度上的图形相邻：图10显而易见：同维相邻在一维上。“异维相邻”在二维间。我们已用符号“”表示“线维”或“同维”相邻。为了便于区别，我们用符号“”表示“异维相邻”。则有： XNYn既然“一维有二异”，那么异维相邻的完整表达式为： XNB2 Ynb2 （B =2= b，B = b）于是“异维”相邻便由此形成了“二维四异”。我们称这为：
10、“面的特性”。我们从面的“二维”性可知，一维的“线”无法容纳二维“面”的存在。但二维的“面”却可以容纳一维“线”的存在。就更不用说空间对“面”与“线”存在的容纳。基于“二维”是面的唯一。所以我们可以在此得出结论之一：在二维面内，存在且只存在“同维”与“异维”两种相邻。我们称这为：面的拓扑性“二维限定”。由于“同维相邻”与“线”；“异维相邻”与“面”为拓扑等价。为了有助对本文观点的理解，所以我们在这里将： “同维”与“线”等同并取代“线”。“异维”与“面”等同并取代“面”。 这样：“同维”与“异维”便成为“线”与“面”的拓扑性表达。其所以在这里用坐标与规则的异色方块图形的两种相邻，取代不规则的不
11、同图形的所有相邻便是基于这一考虑。同样从“一维二异”线的特性出发，我们将图10中 D的每一维度有两个或以上的图形相邻叫做：“异维”的标准相邻。从拓扑性的规定出发，我们将图10 中的A和B这样的相邻叫做：“异维”的拓扑相邻。因为图9B与图10A告诉我们，虽然两个维度上相邻的图形数量同样是多个与一个，不过两者间却存在质的差异。前者为“同维”相邻，后者则为“异维”相邻。我们从中不难发现：图形除了是颜色的载体外，还是几何维度的元素。因为同样是一个图形，在相邻中却具有不同的几何特征。在“同维”相邻中它是“点”。在“异维”相邻中却可以具有“线性”的意义。为了有所区别，我们将：相邻图形之间的一对一的一一对应
12、叫做对称相邻。相邻图形之间不一对一的不一一对应叫做不对称相邻。在直角坐标中，虽然同样是一个图形，但从图10中的A，B，C，D与图9B的实际情况来看：“同维”相邻是一种对称相邻。“异维”相邻是一种不对称相邻。故把这种“对称”与“不对称”叫做图形的相邻状况。而且这种相邻状况只针对图形的“相邻数量”而言。不针对“相邻的图形”数量而言。如图10中的E，相邻的图形数量是5，但是相邻数量却为4。（参见图10中的D与E）不过“相邻状况”与“相邻数量”之间存在如下关联： 相邻数量不等的“异维间”的图形一定是不对称相邻。相邻数量相等的“异维间”的图形不一定是对称相邻。但对称相邻的“异维间”的相邻数量则一定是相等
13、的。（参见图10中的B，D与E）于是问题的关键在于：X与Y两个“维度”间的图形如何相邻？ 四 . 相邻状况与异色种数的数量关系如果Y维度上的图形与X维度上的图形之间的相邻状况是对称的。图11 图11这种“异维”之间的相邻便是对称相邻。从图11可以看出，不论在“Y维”或“X维”，还是在“Y维”与“X维”之间的相邻都如“同维”相邻那样是一对一的一一对应。即如“同维”相邻那样为对称相邻。故我们同样可以把它们看作是：N个X维度上的同维图形在Y维度上的同维相邻；或N个X维度上的同维相邻。在Y维度上的集合。反之亦然。为了更准确的表达以免混乱，我们把： 异维间的对称相邻叫做同维相邻的线性集合。依据“线维”相
14、邻的特点同样只需两种相异的颜色便可区分所有相邻的图形。 见图11 可见：“异维”图形的对称相邻与同维相邻“同性”。从这里我们可以清楚的了解到：关注“异维”图形的相邻状况重要于相邻数量。由于区别在这里强调的同样是无间相邻的异色且与图形共存。同时“线维”相邻的特点与图7可以明确地告诉我们，当图形数量超过必要条件B值时，强调区别的异色便进入重复。而重复相对B值是没有意义的。所以：在“异维相邻”中，与相异元素种数相等的图形的相邻状况，重要于“异维”图形的相邻数量。并且：如果“异维”间的相邻状况是对称的则必定与“线维同性”，如果“异维”间的相邻状况是不对称的则必为“异维相邻”。 于是我们在此可以得出结论之二：“异维”之间的相邻状况只有“对称”与“不对称”两种相邻。而对称相邻是“同维性”相邻。故能表达“异维相邻”特性
