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1、因式分解典型例题一、基础思维探究题型一：多项式的因式分解典例1下列因式分解中，结果正确的是 （）ABCD【研析】A项正确运用平方差公式分解；B项将看成一个整体用平方差公式分解为；C项分解不彻底，还能继续分解；D项分解结果不是几个整式积的形式,所以选择A.【技巧点拔】注意到因式分解的概念，并且因式分解要分解到不能再分解为止.典例2填空:分解因式:.【研析】按照因式分解的步骤,本题首先要提取公因式,然后考虑用完全平方公式分解.解:【归纳总结】一般来说,多项式如果含有公因式,那么首先提公因式,然后再考虑运用公式或其他方法.题型二：生产中的实际应用典例3在半径为R的圆形钢板上，冲去4个半径为r小圆，如
2、图所示，利用因式分解计算，当R=85cm，r=15cm时剩余部分的面积（结果用表示）.【研析】剩余部分的面积可以看成是大圆的面积减去4个小圆的面积，在运算过程中，利用因式分解有时可以使运算简化.解：剩余部分的面积为:R-4r=(.【观察思考】本题巧妙的运用因式分解，避免了半径的平方运算，减小了运算量，使计算变得简便,迅速.题型三：化简求值典例4已知a=+20，b=+19，c=+21，那么代数式的值是（）A.4B.3C.2D.1【研析】因本题所求代数式中含有a、b、c的平方项与二次乘积项与完全平方展开式所含的项基本相同，所以应想办法，如何造型利用公式法分解因式进行化简.解：原式=当a=+20，b
3、=+19，c=+21时，有：ab=1，bc=2，ac=1，原式=.故应选B.【品思感悟】本题通过配成完全平方式，将条件代入，整体消元，方便简洁.题型四：证明不等式典例5设是三角形的三边长,求证:.【研析】本题是证明一个不等问题,想办法利用三角形三边的关系以及因式分解来证明.证明:=,又是三角形的三边长,，即，.【方法指导】本题借助因式分解，将左边的多项式分解成一次因式的积，再根据三角形的三边的关系进行判断因式的符号.二、综合思维探究题型一：学科内综合题典例6已知的值.【研析】本题要充分利用“”这个条件,经过变式来求值.这里可将拆成两项,变为,再添加(.解:，=4.【品思感悟】将多项式变形或拆项
4、，整体运用已知条件，体现“整体”与“分解”思想的有机统一.典例7已知可以被在60到70之间的两个数整除,则它们是（）A61、63B61、65C63、65D63、67【研析】由联想到运用平方差公式进行因式分解，从而做出判断.因为=,而 ,=97=63,所以选择C.【品思感悟】利用因式分解判断数的整除性，大大的简化运算量.从而体现公式方便快捷.题型二：学科间渗透题典例8如图所示,把三个电阻串联起来,线路AB上的电流为I,电压为V,则当=34.9,=20.8,=32.3,I=2.5时,求V的值.【研析】将因式分解的知识运用到物理学的运算当中,可减少运算量,使运算简化.解：当=34.9,=20.8,=
5、32.3,I=2.5时,=2.5(34.9+20.8+32.3)=220.【梳理总结】根据物理学的知识，串联线路电压等于各部分电压之和，构造数学模型，运用因式分解中的提取公因式，使运算得以简化.题型三：实际应用题典例9校园内有一个环形花坛，它的外圆半径R=7.5米,内圆半径r=2.5米,请问:该花坛的占地面积是多少?(取3.14)【研析】由于花坛是环形的,所以花坛的占地面积是外圆的面积减去内圆的面积.解:=(7.5+2.5)(7.5-2.5)= 50155(米).答:该花坛的占地面积约是155米.【迁移应用】此处所用的环形面积计算公式：，它不仅适应于同心圆，对于内含的两圆的环形面积同样适应.如
6、下图所示的阴影面积等于两圆面积之差.题型四：阅读理解题典例10阅读下面的解题过程，然后回答问题：（1）分解因式：.解：原式=.设，则原式=.（2）计算：1234567解：设1234567=x，则原式=.利用（1）、（2）的解法计算：.【研析】本题是属于阅读理解的题目，可仿照（1）、（2）用换元法，使问题变得简单些.解:设2004=,则=.【联想类比】解决阅读理解这类题目的要点：要认真仔细阅读题目中的语言文字信息、观察式子的特点，找出内在联系，写出求解过程.本题运用字母代数的特点，将被开方数转化为完全平方数，体现特殊与一般的思想方法.三、创新思维探究题型一：奇思妙解题典例11计算.【研析】若按常
7、规思路从左到右逐个运算，比较麻烦；设法进行简便运算.观察整个算式,不难看出每一个因式都是两数的平方差,于是可以将每个因式分解,得以求解.解: =.【品思感悟】本题如果按照常规思路来解,比较困难,通过分析认真分析式子的结构、发散思维，运用所学知识，利用因式分解，使问题得以简捷解决.题型二：奥赛欣赏题典例12（第十届希望杯全国数学邀请赛）计算 .【研析】仔细观察算式发现：最后两项可分解因式，提公因式2后得，再依次和前一项进行类似计算.解：=6.【技巧点拨】本题逆向思考，从最高的两项进行因式分解，逐次提取公因式，达到消项的目的.典例13（第十六届“希望杯”全国数学邀请赛）选择题：如果，则一定成立的是
8、（）（A）是的相反数（B）是的相反数（C）是的倒数（D）是的倒数【研析】由平方差公式将的左边因式分解化简整理即可.解： ，即:2，.故选择C.【方法探究】本题由已知条件联想平方差公式，化简代数式，从而使a，b之间的关系得以显现.三、中考思维探究典例14（湖北）分解因式:=_.【研析】=.方法点拔整体上来看此题的各项没有公因式,也不能运用公式,但把第一、四两项作为一组可运用平方差公式，其中有一个因式是；把第二、三项作为一组提公因式后，也有一个因式，于是再一次提公因式就能将原式进行因式分解.典例15（江苏）把多项式分解因式,结果是（）ABCD【研析】整体看各项没有公因式,也不能运用公式,但把前三项作为一组，它是一个完全平方式，可以分解成；把第四项-1作为另一组，那么-1是符合平方差形式得多项式，可继续分解因式.解：=-1=,故选择A.【中考导向】多项式因式分解作为中考的重要的内容，一是以客观形势出现，占分值在6分左右，二是因式分解常常作为基础性工具，运用于整式或分式的化简.所以熟练地的掌握因式分解的常用方法，十分必要.我国经济发展进入新常态，需要转变经济发展方式，改变粗放式增长模式，不断优化经济结构，实现经济健康可持续发展进区域协调发展，推进新型城镇化，推动城乡发展一体化因：我国经济发展还面临区域发展不平衡、城镇化水平不高、城乡发展不平衡不协调等现实挑战。
