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1、2011年全国高中数学联赛四川省预赛2011年全国高中数学联赛四川省预赛由四川省数学会普及工作委员会和四川省数学竞赛委员会主办，由四川省数学竞赛委员会负责命题，命题负责人：柳斌。预赛命题范围以现行高中数学教学大纲为准，主要考察学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力。学生自愿报名参加。全省在5月15日下午14：30-16：30由各地市、州统一组织竞赛（不得在县级以下单位设置考场）。试题总分140分，其中六道选择题（每小题5分，共30分）、六道填空题（每小题5分，共30分）、四道解答题（每小题20分，共80分）。命题难度大体相当于普通高考试题。竞赛完后先由各市、州集中评卷
2、，然后将10的优秀试卷上报四川省数学竞赛委员会（原则上每个参赛学校有试卷上报），由四川省数学竞赛委员会组织专人复查。从中评出一等奖300名、二等奖500名、三等奖700名，由四川省数学竞赛委员会颁发获奖证书。并确定参加决赛人数1000人左右。经四川省数学竞赛委员会研究决定，为确保全国高中数学联赛的安全保密工作，自2007年起，四川省只在成都市设立一个考场，对个别边远地区的优秀学生经济确有困难者提出申请，可由省数学竞赛委员会给予适当资助。试 题一、选择题（每小题5分，共30分）1、双曲线的左、右准线l1、l2将线段F1F2三等分（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率等于（ ）A、
3、 B、 C、 D、2、已知三次函数，), 命题：是上的单调函数；命题：的图像与轴恰有一个交点则是的（ ）. A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且是相互独立的设在一局中甲赢的人数为，则随机变量的数学期望的值为（ ）. A、 B、 C、 D、14、函数的最大值为（ ）. A、 B、3 C、 D、 5、如图，边长为2的正方形ABCD和正方形ABEF所在的面成60角，M、N分别是线段AC和BF上的点，且，则线段MN的长的取值范围是（ ）. A、B、 C、
4、 D、 6、设数列为等差数列，数列满足：，若 ，则数列的公差为（ ）. A、 B、1 C、2 D、4二、填空题（每小题5分，共30分）7、已知实数满足，则的取值范围是 8、设平面内的两个非零向量与相互垂直，且，则使得向量与互相垂直的所有实数之和为 9、记实数等比数列的前项和为，若，则 10、设为实数，定义为不小于的最小整数，例如，关于实数的方程的全部实根之和等于 11、已知，其中为整数，则 12、已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2,设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为 三、解答题（每小题20分，共80分）
5、13、已知，若函数的最大值为，求的最小值14、已知函数在有最大值5，求实数的值 15、抛物线与过点的直线交于、两点（I）求直线的斜率的取值范围；(II) 求在线段上满足条件的点的轨迹方程16、已知为实数，数列的前项和为，满足：，且对任何的正整数恒成立求证：当取到最大值时，对任何正整数都有本文档选自华东师范大学出版社的高中数学联赛备考手册（2012）（预赛试题集锦），该书收录了2011年各省市预赛试题和优秀解答。预赛命题人员大多为各省市数学会成员，试题在遵循现行教学大纲，体现新课标精神的同时，在方法的要求上有所提高。命题人员大多同时兼任各省市高考命题工作，试题对高考有一定的指导作用，本书架起了联
6、赛与高考的桥梁，是一本不可或缺的备考手册。图书推荐： “奥数”联赛冲刺篇 “奥数”IMO 终极篇更多免费图书资料，请在百度文库中搜索“学奥数，这里总有一本适合你”。解 答1、B. 提示：由题意得，解得2、A3、C. 提示：, ,于是. 4、C. 解法一 的定义域为，由，解得因为，于是解法二 的定义域为，当且仅当，即时，取到最大值 5、B. 提示：过点M作MH/BC交AB于H，则，又AM=FN，AC=FB， ，NH/AF，NHAB，MHAB，MHN=60设AH=x(0x2)，则MH=x，所以. 因此6、D. 提示： 于是，解得7、 提示：因为，等号成立当且仅当，即 8、1. 提示：由于=，即=0
7、，所以由根与系数的关系知符合条件所有实数之和为19、150. 提示：记，. 设为的公比，则构成以为公比的等比数列，于是即，解得或（舍去），故10、-4. 提示：设，则，于是原方程等价于，即，从而，即相应的为于是所有实根之和为11、提示：由条件知，于是，故12、. 提示：如图，因为SA=SB=SC，所以S在平面ABC上的射影是ABC的外心，即AB的中点H，同理O点在平面ABC上的射影也是ABC的外心H，即在等边SAB中，求OH的长，其中OA=OB=OS显然， 13、令，则，所以. 当时，有最大值，即所以，等号当且仅当时成立，当时，有最小值10 14、 令，则，从而令，由题意知在有最大值5.当时，在时有最大值5，故符合条件； 当时，矛盾！当时，矛盾！综上所述，所求的实数 15、（I）直线的方程为，与抛物线方程联立得，消去得，即，由，解得或 （II）设点坐标为，点坐标为，点坐标为，则，. 又、都在直线上，所以有，由得，化简得又因此，点在线段上，所以同号则. 因此 ， ， 由得代入得,即. 又因为或，所以的取值范围是且，因此点的轨迹方程是（且） 16、当时，由得. 当时，所以，即，所以，即 . 由条件知，对任何正整数恒成立
