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1、大学数学之初等数学研究，李长明，周焕山版，高等教育出版社习题一1答：原则：（1）AB （2）A的元素间所定义的一些运算或基本关系，在B中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A中原来的意义完全一致。 （3）在A中不是总能施行的某种运算，在B中总能施行。 (4) 在同构的意义下,B应当是A满足上述三原则的最小扩展,而且由A唯一确定。 方式：（1）添加元素法；（2）构造法2证明:(1)设命题能成立的所有c组成集合M。a=b， 假设，则 由归纳公理知M=N，所以命题对任意自然数c成立。 （2）若ab，则 则acb，则 则acbc。3证明:(1)用反证法：若。当ab时，由乘法单调性
2、知acbc. 当ab时，由乘法单调性知acbc.这与ac=bc矛盾。则a=b。 （2）用反证法：若。当ab时，由乘法单调性知acbc. 当a=b时，由乘法单调性知ac=bc.这与acbc矛盾。则ab。 （3）用反证法：若。当ab时，由乘法单调性知acbc矛盾。则ab。4. 解：（1） （2） 5证明：当n=1时， 假设当n=k时则当n=k+1时 则对，是9的倍数.6证明：当时，=，=；则当时成立。假设当时成立，即()()() ()=当时，()()() ()（）=（）=当时成立。7解：（1） （2） （3）当n=1时， 假设当n=k时则当n=k+1时 则对，是10的倍数.8证明： 9证明：假设存
3、在b，使得由若若 因此10证明：则=11答:(1)加法,乘法,减法; 构成数环 (2)乘法,除法; (3)加法,乘法; (4)加法,乘法; (5)加法,乘法,除法; (6)乘法; (7)加法,乘法,减法;构成数环 (8)加法,乘法,减法;构成数环12 证明：方法一 即 即 方法二：设则由p=q得， ， ，；， ，；则1,则任何小于1的数都是的下界.11 证明: 由于是有界函数,则而没有上界,则对则对，则与的和在定义域上无上界.12 解: 则 13. (1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)非奇非偶函数 (5)偶函数 (6)偶函数14解: 则是偶函数.15解: 则16解:(1) 则的定义域为,它是奇函数.（2）由 则 (3) (4) 对17解：当时，即又是奇函数，则则18解：=0 则19解：（1） 即。要比较2x，3y和6z的大小，只须比较的大小即可。而,即(2) 20解：由于当=0;当=-=-0;综上可知.21解:令,则在-1,1上单调递增.而则22 解: 由于则则则，故23证明： 则是周期。假设最小正周期是，且则即令,即.则这与不成立,即证.24证明:假设是以为周期的周期函数. 即则令则令当令当矛盾。则不是周期函数。25解：（1）由得， 则（2）26. （1）=（2）27解：习题四1
