《2022年高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第54课 直线与平面垂直的判定和性质 文（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第54课 直线与平面垂直的判定和性质 文（含解析）（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2022年高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第54课 直线与平面垂直的判定和性质 文（含解析）1.直线与平面垂直（1）定义：如果直线与平面内的 任意一条 直线都垂直，那么就说直线与平面互相垂直记作 （2）直线与平面垂直的判定类别语言表述图示字母表示作用判定（1）若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直用于证明直线与平面垂直（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面用于证明直线与平面垂直例1. (xx广东卷)如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，ADAE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将ABF沿AF折起
2、，得到如图2所示的三棱锥ABCF，其中BC.(1)证明：DE/平面BCF；(2)证明：CF平面ABF；(3)当AD时，求三棱锥FDEG的体积VFDEG.(1)证明：在等边三角形ABC中，ADAE.，在折叠后的三棱锥ABCF中也成立，DEBC，DE平面BCF, BC平面BCF，DE平面BCF.(2)证明：在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AFBC，BFCF. 在三棱锥ABCF中，BC，BC2BF2CF2，CFBF， BFCFF，CF平面ABF.(3)解析：由(1)可知GECF，结合(2)可得GE平面DFG. VFDEGVEDFGDGFGGE.练习：如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是
3、圆上的点 （1）求证:平面； （2）设为的中点，为的重心，求证：平面平面【解析】（1）证明：是圆的直径， 平面，平面，平面（2）连结并延长交于，连结，为的重心，为的中点，为的中点，平面，平面平面为的中点，为的中点，平面，平面平面，而平面，平面，平面，平面平面，即平面平面（3）直线与平面垂直的性质类别语言表述图示字母表示作用性质（1）若一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条 直线证两条直线垂直（2）如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行证两条直线平行例2. 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若ABCB2
4、，A1C，求三棱柱ABCA1B1C1的体积【解】(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA160，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB.因为OCOA1O，所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)由题设知ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OCOA1.又A1C，则A1C2OC2OA，故OA1OC.因为OCABO，所以OA1平面ABC，OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高又ABC的面积SABC，故三棱柱ABCA1B1C1的体积VSABCOA13.练习：如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面. 求证：
5、； 证明:平面，平面， . ， . .，平面，平面， 平面. 平面， . 2.直线与平面所成的角（1）一个平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做斜线和这个平面所成的角.（2）直线与平面所成的角的范围是 （3）如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角练习：若四棱锥的所有棱长均为2，则侧棱与底面所成的角为 ，斜高与底面底面所成的角的正切值为 第54课 直线与平面垂直的判定和性质作业题1一条直线与一个平面垂直的条件是 ( ) A. 垂直于平面内的一条直线 B. 垂直于平面内的两条直线C. 垂直于平面内的无数条直线 D. 垂直于平面内的两条相交直线解析：D2. 如果平面外的一条直线
6、a与内两条直线垂直，那么 ( ) A. a B. a C. a与斜交 D. 以上三种均有可能解析：D3. 已知两条不同的直线m、n，两个不同的平面a、，则下列命题中的真命题是（）A若ma，n，a，则mnB若ma，n，a，则mnC若ma，n，a，则mnD若ma，n，a，则mn【答案】A【解析】试题分析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中记ABCD为平面a，CDC1D1为平面，直线AA1为m，直线BB1为n，则mn，因此选项B为假；同理选项D也为假，取平面ra，则平面内的任意一条直线都可以为直线m,n，因此选项C为假，答案选A.考点：空间几何中直线与直线的位置关系4. 如图，BC是RtABC的斜
7、边，AP平面ABC，连结PB、PC，作PDBC于D，连结AD，则图中共有直角三角形_个。解：8个。因为AP平面ABC，PDBC，AD是PD的射影，由三垂线定理，得ADBC。从而PAB、PAC、PAD、ABC、ABD、ACD、PBD、PDC都是直角三角形。5如图，已知PAO所在的平面，AB是O的直径，C是异于A、B的O上任意一点，过A作AEPC于E，求证：（1）BC平面PAC（2）AE平面PBC证明：PA平面ABC，PABC，又AB是O的直径，BCAC而PAACA，BC平面PAC又AE平面PAC，BCAEPCAE且PCBCC，AE平面PBC6 如图，已知ABCD是空间四边形，ABAD，CBCD，
8、求证：BDAC证明：设BD的中点为K，连结AK、CK，ABAD，K为BD中点AKBD同理CKBD，且AKKCKBD平面AKCBD垂直于平面AKC内的所有直线BDAC 7在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为DD1中点，O为底面ABCD中心，求证：B1O平面PAC证明：如图：连结AB1，CB1，设AB1AB1CB1，AOCO，B1OAC，连结PB1， ，B1OPO，B1O平面PAC。8如图，在三棱柱中，底面，E、F分别是棱的中点.（）求证：AB平面AA1 C1C；（）若线段上的点满足平面/平面，试确定点的位置，并说明理由；【答案】见解析【解析】（I）底面， 3分，面. 6分（II）面/面，面面
9、，面面，/， 10分在中是棱的中点，是线段的中点. 12分【考点定位】本题主要考查立体几何平行、垂直关系等基础知识，意在考查逻辑思维能力、空间想象能力和推理论证能力9在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在棱AB上 (1)求证：ACB1C；（2）若D是AB中点，求证：AC1平面B1CD.【答案】(1)详见解析；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）要证明ACB1C，根据线面垂直的判定定理，只要转化证明AC平面BB1C1C即可；（2）要证明AC1平面B1CD，根据线面的判定定理，只要转换证明DE/AC1即可.试题解析：(1)证明：在ABC中，因为AB
10、=5，AC=4，BC=3，所以AC2+BC2=AB2，所以ACBC因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以CC1AC，因为BCAC=C，所以AC平面BB1C1C所以ACB1C 6分（2）连结BC1，交B1C于E，连接DE因为直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点，所以侧面BB1C1C为矩形，DE为ABC1的中位线，所以DE/AC1因为DE平面B1CD，AC1平面B1CD，所以AC1平面B1CD 12分考点：空间位置关系的证明.10. 如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.（1）证明：（2）若,求三棱柱的高.【答案】（1）详见解析;（2）三棱柱的高为.【解析】试题分析：（1）根据题意欲
11、证明线线垂直通常可转化为证明线面垂直，又由题中四边形是菱形，故可想到连结，则O为与的交点，又因为侧面为菱形，对角线相互垂直;又平面，所以，根据线面垂直的判定定理可得：平面ABO，结合线面垂直的性质：由于平面ABO，故;（2）要求三菱柱的高，根据题中已知条件可转化为先求点O到平面ABC的距离，即：作，垂足为D，连结AD，作，垂足为H，则由线面垂直的判定定理可得平面ABC，再根据三角形面积相等：，可求出的长度，最后由三棱柱的高为此距离的两倍即可确定出高试题解析：（1）连结，则O为与的交点. 因为侧面为菱形，所以.又平面，所以，故平面ABO.由于平面ABO，故.（2）作，垂足为D，连结AD，作，垂足为H.由于，故平面AOD，所以，又，所以平面ABC.因为，所以为等边三角形，又，可得.由于，所以,由，且，得，又O为的中点，所以点到平面ABC的距离为.故三棱柱的高为.
