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1、2022年高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第54课 直线与平面垂直的判定和性质 文(含解析)1.直线与平面垂直(1)定义:如果直线与平面内的 任意一条 直线都垂直,那么就说直线与平面互相垂直记作 (2)直线与平面垂直的判定类别语言表述图示字母表示作用判定(1)若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直用于证明直线与平面垂直(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面用于证明直线与平面垂直例1. (xx广东卷)如图1,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,ADAE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起
2、,得到如图2所示的三棱锥ABCF,其中BC.(1)证明:DE/平面BCF;(2)证明:CF平面ABF;(3)当AD时,求三棱锥FDEG的体积VFDEG.(1)证明:在等边三角形ABC中,ADAE.,在折叠后的三棱锥ABCF中也成立,DEBC,DE平面BCF, BC平面BCF,DE平面BCF.(2)证明:在等边三角形ABC中,F是BC的中点,所以AFBC,BFCF. 在三棱锥ABCF中,BC,BC2BF2CF2,CFBF, BFCFF,CF平面ABF.(3)解析:由(1)可知GECF,结合(2)可得GE平面DFG. VFDEGVEDFGDGFGGE.练习:如图,是圆的直径,垂直于圆所在的平面,是
3、圆上的点 (1)求证:平面; (2)设为的中点,为的重心,求证:平面平面【解析】(1)证明:是圆的直径, 平面,平面,平面(2)连结并延长交于,连结,为的重心,为的中点,为的中点,平面,平面平面为的中点,为的中点,平面,平面平面,而平面,平面,平面,平面平面,即平面平面(3)直线与平面垂直的性质类别语言表述图示字母表示作用性质(1)若一条直线与一个平面垂直,则这条直线垂直于平面内的任意一条 直线证两条直线垂直(2)如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行证两条直线平行例2. 如图,三棱柱ABCA1B1C1中,CACB,ABAA1,BAA160.(1)证明:ABA1C;(2)若ABCB2
4、,A1C,求三棱柱ABCA1B1C1的体积【解】(1)证明:取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.因为CACB,所以OCAB.由于ABAA1,BAA160,故AA1B为等边三角形,所以OA1AB.因为OCOA1O,所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C,故ABA1C.(2)由题设知ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形,所以OCOA1.又A1C,则A1C2OC2OA,故OA1OC.因为OCABO,所以OA1平面ABC,OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高又ABC的面积SABC,故三棱柱ABCA1B1C1的体积VSABCOA13.练习:如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,平面. 求证:
5、; 证明:平面,平面, . , . .,平面,平面, 平面. 平面, . 2.直线与平面所成的角(1)一个平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角,叫做斜线和这个平面所成的角.(2)直线与平面所成的角的范围是 (3)如果直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的角是直角练习:若四棱锥的所有棱长均为2,则侧棱与底面所成的角为 ,斜高与底面底面所成的角的正切值为 第54课 直线与平面垂直的判定和性质作业题1一条直线与一个平面垂直的条件是 ( ) A. 垂直于平面内的一条直线 B. 垂直于平面内的两条直线C. 垂直于平面内的无数条直线 D. 垂直于平面内的两条相交直线解析:D2. 如果平面外的一条直线
6、a与内两条直线垂直,那么 ( ) A. a B. a C. a与斜交 D. 以上三种均有可能解析:D3. 已知两条不同的直线m、n,两个不同的平面a、,则下列命题中的真命题是()A若ma,n,a,则mnB若ma,n,a,则mnC若ma,n,a,则mnD若ma,n,a,则mn【答案】A【解析】试题分析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中记ABCD为平面a,CDC1D1为平面,直线AA1为m,直线BB1为n,则mn,因此选项B为假;同理选项D也为假,取平面ra,则平面内的任意一条直线都可以为直线m,n,因此选项C为假,答案选A.考点:空间几何中直线与直线的位置关系4. 如图,BC是RtABC的斜
7、边,AP平面ABC,连结PB、PC,作PDBC于D,连结AD,则图中共有直角三角形_个。解:8个。因为AP平面ABC,PDBC,AD是PD的射影,由三垂线定理,得ADBC。从而PAB、PAC、PAD、ABC、ABD、ACD、PBD、PDC都是直角三角形。5如图,已知PAO所在的平面,AB是O的直径,C是异于A、B的O上任意一点,过A作AEPC于E,求证:(1)BC平面PAC(2)AE平面PBC证明:PA平面ABC,PABC,又AB是O的直径,BCAC而PAACA,BC平面PAC又AE平面PAC,BCAEPCAE且PCBCC,AE平面PBC6 如图,已知ABCD是空间四边形,ABAD,CBCD,
8、求证:BDAC证明:设BD的中点为K,连结AK、CK,ABAD,K为BD中点AKBD同理CKBD,且AKKCKBD平面AKCBD垂直于平面AKC内的所有直线BDAC 7在正方体ABCDA1B1C1D1中,P为DD1中点,O为底面ABCD中心,求证:B1O平面PAC证明:如图:连结AB1,CB1,设AB1AB1CB1,AOCO,B1OAC,连结PB1, ,B1OPO,B1O平面PAC。8如图,在三棱柱中,底面,E、F分别是棱的中点.()求证:AB平面AA1 C1C;()若线段上的点满足平面/平面,试确定点的位置,并说明理由;【答案】见解析【解析】(I)底面, 3分,面. 6分(II)面/面,面面
9、,面面,/, 10分在中是棱的中点,是线段的中点. 12分【考点定位】本题主要考查立体几何平行、垂直关系等基础知识,意在考查逻辑思维能力、空间想象能力和推理论证能力9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,点D在棱AB上 (1)求证:ACB1C;(2)若D是AB中点,求证:AC1平面B1CD.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析【解析】试题分析:(1)要证明ACB1C,根据线面垂直的判定定理,只要转化证明AC平面BB1C1C即可;(2)要证明AC1平面B1CD,根据线面的判定定理,只要转换证明DE/AC1即可.试题解析:(1)证明:在ABC中,因为AB
10、=5,AC=4,BC=3,所以AC2+BC2=AB2,所以ACBC因为直三棱柱ABC-A1B1C1,所以CC1AC,因为BCAC=C,所以AC平面BB1C1C所以ACB1C 6分(2)连结BC1,交B1C于E,连接DE因为直三棱柱ABC-A1B1C1,D是AB中点,所以侧面BB1C1C为矩形,DE为ABC1的中位线,所以DE/AC1因为DE平面B1CD,AC1平面B1CD,所以AC1平面B1CD 12分考点:空间位置关系的证明.10. 如图,三棱柱中,侧面为菱形,的中点为,且平面.(1)证明:(2)若,求三棱柱的高.【答案】(1)详见解析;(2)三棱柱的高为.【解析】试题分析:(1)根据题意欲
11、证明线线垂直通常可转化为证明线面垂直,又由题中四边形是菱形,故可想到连结,则O为与的交点,又因为侧面为菱形,对角线相互垂直;又平面,所以,根据线面垂直的判定定理可得:平面ABO,结合线面垂直的性质:由于平面ABO,故;(2)要求三菱柱的高,根据题中已知条件可转化为先求点O到平面ABC的距离,即:作,垂足为D,连结AD,作,垂足为H,则由线面垂直的判定定理可得平面ABC,再根据三角形面积相等:,可求出的长度,最后由三棱柱的高为此距离的两倍即可确定出高试题解析:(1)连结,则O为与的交点. 因为侧面为菱形,所以.又平面,所以,故平面ABO.由于平面ABO,故.(2)作,垂足为D,连结AD,作,垂足为H.由于,故平面AOD,所以,又,所以平面ABC.因为,所以为等边三角形,又,可得.由于,所以,由,且,得,又O为的中点,所以点到平面ABC的距离为.故三棱柱的高为.